Mostre que (P+Q) times(P-Q)=P times Q+Q times P para quaisquer vetores P e Q. Interprete geometricamente o resultado.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(vec P + vec Q)times(vec P - vec Q) ;=;vec Ptimesvec Q;+;vec Qtimesvec P
para quaisquer vetores vec P e vec Q. Vamos usar as propriedades bilineares do produto vetorial (distributividade) e a anticomutatividade vec Atimesvec B = -,vec Btimesvec A.

Passo 2

Aplicando distributividade em cada fator, temos
(vec P + vec Q)times(vec P - vec Q) = vec Ptimesvec P ;-;vec Ptimesvec Q ;+;vec Qtimesvec P ;-;vec Qtimesvec Q

Passo 3

Sabemos que vec Ptimesvec P = vec Qtimesvec Q = vec 0. Logo
(vec P + vec Q)times(vec P - vec Q) = -,vec Ptimesvec Q ;+;vec Qtimesvec P = vec Qtimesvec P ;-;vec Ptimesvec Q
Usando anticomutatividade, vec Qtimesvec P = -,vec Ptimesvec Q, obtemos
(vec P + vec Q)times(vec P - vec Q) = -,vec Ptimesvec Q ;-;vec Ptimesvec Q = -2,vec Ptimesvec Q

Passo 4

Por outro lado, o lado direito é
vec Ptimesvec Q ;+;vec Qtimesvec P = vec Ptimesvec Q ;-;vec Ptimesvec Q = vec 0
Comparando, vemos que em geral
(vec P+vec Q)times(vec P-vec Q) = -2,vec Ptimesvec Q neq vec 0 = vec Ptimesvec Q + vec Qtimesvec P

Passo 5

A igualdade só se verifica no caso degenerado em que vec Ptimesvec Q=vec 0, ou seja, quando vec P e vec Q são paralelos (então ambos os lados valem vec 0). Para vetores quaisquer, a identidade proposta é falsa.

Resposta

A igualdade não vale para vetores quaisquer; na verdade
(vec P+vec Q)times(vec P-vec Q)=-2,vec Ptimesvec Q e vec Ptimesvec Q+vec Qtimesvec P=vec 0,
sendo iguais apenas se vec P e vec Q forem paralelos. Geometricamente,
-2,vec Ptimesvec Q tem módulo duas vezes a área do paralelogramo gerado por vec P e vec Q, enquanto vec Ptimesvec Q+vec Qtimesvec P é sempre nulo porque as áreas orientadas se cancelam.

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