Mostre que
para quaisquer vetores
e
. Interprete geometricamente o resultado.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
para quaisquer vetores
e
. Vamos usar as propriedades bilineares do produto vetorial (distributividade) e a anticomutatividade
.
Passo 2
Aplicando distributividade em cada fator, temos
Passo 3
Sabemos que
. Logo
Usando anticomutatividade,
, obtemos
Passo 4
Por outro lado, o lado direito é
Comparando, vemos que em geral
Passo 5
A igualdade só se verifica no caso degenerado em que
, ou seja, quando
e
são paralelos (então ambos os lados valem
). Para vetores quaisquer, a identidade proposta é falsa.
Resposta
A igualdade não vale para vetores quaisquer; na verdade
sendo iguais apenas se
e
forem paralelos. Geometricamente,
tem módulo duas vezes a área do paralelogramo gerado por
e
, enquanto
é sempre nulo porque as áreas orientadas se cancelam.