Uma força atua ao longo da reta que liga dois pontos \mathrm{P}=(7,3,1) e \mathrm{Q}=(1,5,-2). Determine: a) o vetor direção e b) seu módulo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Ponto \mathrm{P} = (7,3,1).
    • Ponto \mathrm{Q} = (1,5,-2).
  • Perguntas do enunciado:
    • (a) Determinar o vetor direção da reta que liga \mathrm{P} a \mathrm{Q}.
    • (b) Determinar o módulo (comprimento) desse vetor direção.

Passo 2

Entender o que é “vetor direção” entre dois pontos e qual fórmula usar.
  • Definição prática que vamos usar: o vetor que representa a direção do segmento que vai de \mathrm{P} até \mathrm{Q} é dado pela diferença das coordenadas do ponto final pelo ponto inicial. Em símbolos:
\overrightarrow{PQ} = \mathrm{Q} - \mathrm{P}.
  • Isso significa subtrair componente a componente: a componente x do vetor é x_Q-x_P, a componente y é y_Q-y_P, e a componente z é z_Q-z_P.

Passo 3

Calcular as componentes do vetor direção usando a fórmula \overrightarrow{PQ}=\mathrm{Q}-\mathrm{P}.
  • Subtração componente a componente:
\overrightarrow{PQ} = (1-7,\;5-3,\;-2-1).
  • Executando as subtrações:
\overrightarrow{PQ} = (-6,\;2,\;-3).

Passo 4

Explicar como calcular o módulo de um vetor em \mathbb{R}^3 e aplicar ao caso.
  • Fórmula do módulo (norma euclidiana) de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z):
\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
  • Aqui aplicamos essa fórmula ao vetor \overrightarrow{PQ}=(-6,2,-3).

Passo 5

Calcular passo a passo o módulo de \overrightarrow{PQ}.
  • Elevações ao quadrado das componentes:
(-6)^{2}=36,\qquad 2^{2}=4,\qquad (-3)^{2}=9.
  • Soma dos quadrados:
36+4+9=49.
  • Raiz quadrada:
\|\overrightarrow{PQ}\|=\sqrt{49}=7.

Passo 6

Dica útil para a prova (opcional, mas prático): às vezes o professor pede o vetor direção normalizado (vetor unitário). Se precisar, o vetor unitário na direção de \overrightarrow{PQ} é
\hat{u}=\frac{\overrightarrow{PQ}}{\|\overrightarrow{PQ}\|=\;7}=\left(-\frac{6}{7},\;\frac{2}{7},\;-\frac{3}{7}\right).
Guarde isso caso peçam “vetor diretor unitário”.

Resposta

(a) \overrightarrow{PQ}=(-6,2,-3)
(b) \|\overrightarrow{PQ}\|=7

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