Uma força conservativa age sobre uma partícula obedecendo a \vec{F}=(4,0 x-8) \hat{i} N. Se a partícula se move no eixo x e a energia potencial equivale a 19 J em x=0, desprezando a resitência do ar e considere |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, escreva uma expressão para essa energia em função de x. Determine também o valor máximo positivo da energia potencial e os valores de x para que ela seja nula. Considere x em metros e energia potencial em joules.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula que se move ao longo do eixo x sob ação de uma força conservativa unidimensional
\vec{F}(x) = \bigl(4{,}0\,x - 8\bigr)\,\hat\imath\\ \mathrm{N}.
Queremos encontrar a energia potencial U(x) tal que U(0)=19\\ \mathrm{J}, depois determinar o valor máximo positivo de U e os pontos x onde U(x)=0.

Passo 2

Para forças conservativas unidimensionais vale
F(x) = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}.
Aqui F(x)=4x-8, então
\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -\bigl(4x - 8\bigr) = -4x + 8.
Integrando em relação a x, obtemos
U(x)=\int (-4x+8)\,\mathrm{d}x = -2x^2 + 8x + C.

Passo 3

Usamos a condição U(0)=19 para achar C:
U(0) = -2\cdot 0^2 + 8\cdot 0 + C = C = 19.
Portanto
U(x) = -2x^2 + 8x + 19\quad(\mathrm{J}).

Passo 4

A função U(x)=-2x^2+8x+19 é uma parábola que se abre para baixo a=-2<0. Seu vértice, ponto de máximo, ocorre em
x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2\cdot(-2)} = 2\\ \mathrm{m}.
O valor máximo é
U(2) = -2\cdot 2^2 + 8\cdot 2 + 19 = -8 + 16 + 19 = 27\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para achar onde U(x)=0, resolvemos
-2x^2 + 8x + 19 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 8x - 19 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4\cdot 2\cdot(-19)}}{2\cdot 2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 152}}{4} = \frac{8 \pm \sqrt{216}}{4} = \frac{8 \pm 6\sqrt{6}}{4} = 2 \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}.

Resposta

Expressão da energia potencial:
U(x) = -2x^2 + 8x + 19\\ \mathrm{J}.
Valor máximo positivo de U:
U_{\max} = 27\\ \mathrm{J}\quad\text{em }x=2\\ \mathrm{m}.
Valores de x para U(x)=0:
x = 2 \pm \frac{3\sqrt{6}}{2}\\ \mathrm{m}.

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