Seja a função energia potencial numa reta dada por U(x)=x^{3}-3 x^{2}-13 x+15, desprezando a resitência do ar e considere |\vec{g}|=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, encontre os pontos de equilíbrio na reta e classifique-os como instáveis ou estáveis.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial numa reta
U(x)=x^{3}-3x^{2}-13x+15
e pede os pontos de equilíbrio, isto é, os valores de x em que a força
F(x)=-\frac{dU}{dx}
se anula. Em seguida, devemos classificar cada ponto como estável (mínimo de U) ou instável (máximo de U), usando a segunda derivada.

Passo 2

Calcular a primeira derivada de U:
U'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x^{2}-13x+15\bigr) =3x^{2}-6x-13.
Os pontos de equilíbrio satisfazem
U'(x)=0.

Passo 3

Resolver a equação
3x^{2}-6x-13=0.
O discriminante é
\Delta =(-6)^{2}-4\cdot3\cdot(-13)=36+156=192.
Logo as raízes são
x=\frac{6\pm\sqrt{192}}{2\cdot3} =\frac{6\pm8\sqrt{3}}{6} =1\pm\frac{4\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Para classificar a estabilidade, usamos a segunda derivada
U''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-6x-13)=6x-6.
Se U''(x)>0, o ponto é um mínimo (equilíbrio estável); se U''(x)<0, é um máximo (equilíbrio instável).

Passo 5

Denotando
x_{1}=1+\frac{4\sqrt{3}}{3}, \quad x_{2}=1-\frac{4\sqrt{3}}{3},
temos
U''(x_{1})=6\Bigl(1+\frac{4\sqrt{3}}{3}\Bigr)-6 =6+8\sqrt{3}-6 =8\sqrt{3}>0,
logo x_{1} é estável, e
U''(x_{2})=6\Bigl(1-\frac{4\sqrt{3}}{3}\Bigr)-6 =6-8\sqrt{3}-6 =-8\sqrt{3}<0,
logo x_{2} é instável.

Resposta

x=1+\dfrac{4\sqrt{3}}{3} é ponto de equilíbrio estável. x=1-\dfrac{4\sqrt{3}}{3} é ponto de equilíbrio instável.

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