Uma força eletromotriz de 30 volts á aplicada a um circuito em série L R no qual a indutância é de 0,1 henry e a resistência é de 50 ohms. Ache a corrente i(t) se i(0)=0. Determine a corrente quando t \rightarrow \infty.
L \frac{d i}{d t}+R i+\frac{1}{C} q=E(t), E_{L}=L \frac{d i}{d t}, E_{R}=R i, \quad E_{C}=\frac{1}{C} q, i=\frac{d q}{d t} .

Passo 1

O enunciado trata de um circuito série RL alimentado por uma força eletromotriz constante de 30 V, com indutância L=0,1 H, resistência R=50,Ω e condição inicial i(0)=0. Preciso encontrar a corrente i(t) e o valor de i(t) quando t\to\infty.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial do circuito RL:
L\,\frac{di}{dt} + R\,i = E(t),
onde E(t)=30,V constante. Dividindo por L, obtemos a forma padrão
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = \frac{E}{L}.
Como \tfrac{R}{L}=\tfrac{50}{0,1}=500 e \tfrac{E}{L}=\tfrac{30}{0,1}=300, a equação fica
\frac{di}{dt} + 500\,i = 300.

Passo 3

Para resolver, primeiro achamos a solução homogênea i_h, que satisfaz
\frac{di_h}{dt} + 500\,i_h = 0 \quad\Longrightarrow\quad i_h(t)=K\,e^{-500\,t}.
Em seguida procuramos uma solução particular constante i_p=A. Substituindo na equação, vem
0 + 500\,A = 300 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{300}{500} = 0,6.

Passo 4

A solução geral é
i(t) = i_h(t) + i_p = K\,e^{-500\,t} + 0,6.
Aplicando i(0)=0, obtém-se
0 = K + 0,6 \quad\Longrightarrow\quad K = -0,6.
Logo
i(t) = 0,6\bigl(1 - e^{-500\,t}\bigr)\quad\text{(A)}.

Passo 5

Para t\to\infty, o termo exponencial tende a zero, então
i(\infty) = 0,6\text{ A}.

Resposta

\displaystyle i(t)=0,6\bigl(1 - e^{-500\,t}\bigr) A \displaystyle i(\infty)=0,6 A

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