Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t.
O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
18. Um tanque cilíndrico de volume 240 L está inicialmente cheio com substância que contém
de sal dissolvida em água. A partir do instante
de sal moura com concentração de
flui para dentro do tanque. Sabe-se, também, que
de sal moura bem agitada (mexida) flui para fora do tanque. Determine a quantidade de sal
em kg.
O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
18. Um tanque cilíndrico de volume 240 L está inicialmente cheio com substância que contém
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante
L, inicialmente cheio de solução com
kg de sal. A partir de
entra solução à vazão de
L/min com concentração
kg/L e sai, bem misturada, a mesma vazão de
L/min. O conteúdo é um problema de equação diferencial do tipo mistura, em que vamos modelar a variação
da massa de sal no tanque.
Passo 2
Como o volume do tanque permanece constante em
L e a mistura é perfeita, a concentração instantânea de sal na saída é
Passo 3
A taxa de entrada de sal é vazão × concentração de entrada:
A taxa de saída de sal é vazão × concentração no tanque:
Passo 4
O balanço de massa de sal dá a equação diferencial
Em forma padrão:
Passo 5
Usamos fator integrante
. Multiplicando:
Integrando ambos os lados:
Logo
Passo 6
Impondo a condição inicial
dá
Portanto