Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t.
O princípio de Torricelli diz que a velocidade v do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sem atrito) caindo da altura h.
18. Um tanque cilíndrico de volume 240 L está inicialmente cheio com substância que contém S_{0} \mathrm{~kg} de sal dissolvida em água. A partir do instante t=0,2 L / \mathrm{min} de sal moura com concentração de 0.10 \mathrm{~kg} / L flui para dentro do tanque. Sabe-se, também, que 2 L / \min de sal moura bem agitada (mexida) flui para fora do tanque. Determine a quantidade de sal S(t) em kg.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante 240 L, inicialmente cheio de solução com S_{0} kg de sal. A partir de t=0 entra solução à vazão de 2 L/min com concentração 0,10 kg/L e sai, bem misturada, a mesma vazão de 2 L/min. O conteúdo é um problema de equação diferencial do tipo mistura, em que vamos modelar a variação S(t) da massa de sal no tanque.

Passo 2

Como o volume do tanque permanece constante em 240 L e a mistura é perfeita, a concentração instantânea de sal na saída é
\frac{S(t)}{240}\quad\text{(kg por L).}

Passo 3

A taxa de entrada de sal é vazão × concentração de entrada:
\text{entrada} = 2 \times 0{,}10 = 0{,}20\quad\text{(kg/min).}
A taxa de saída de sal é vazão × concentração no tanque:
\text{saída} = 2 \times \frac{S(t)}{240} = \frac{2S(t)}{240} = \frac{S(t)}{120}\quad\text{(kg/min).}í

Passo 4

O balanço de massa de sal dá a equação diferencial
\frac{dS}{dt} = (\text{entrada}) - (\text{saída}) = 0{,}20 - \frac{S(t)}{120}.í
Em forma padrão:
\frac{dS}{dt} + \frac{1}{120}\,S = 0{,}20.

Passo 5

Usamos fator integrante \mu(t)=e^{\int \frac{1}{120}dt}=e^{t/120}. Multiplicando:
e^{t/120}\frac{dS}{dt} + \frac{1}{120}e^{t/120}S = 0{,}20\,e^{t/120} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(S\,e^{t/120}\bigr)=0{,}20\,e^{t/120}.
Integrando ambos os lados:
S(t)\,e^{t/120} = \int 0{,}20\,e^{t/120}dt + C = 0{,}20\cdot 120\,e^{t/120} + C = 24\,e^{t/120} + C.
Logo
S(t)=24 + C\,e^{-t/120}.

Passo 6

Impondo a condição inicial S(0)=S_{0}
S_{0} = 24 + C \quad\Longrightarrow\quad C = S_{0} - 24.
Portanto
S(t)=24 + \bigl(S_{0}-24\bigr)e^{-t/120}.

Resposta

S(t)=24 + \bigl(S_{0}-24\bigr)e^{-t/120}\quad\text{(kg).}

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