Questão 5. (2.0 pontos) Considere a superfície
definida pela equação
onde a variável
é dada implicitamente em função de
e de
.
a) Calcule a equação do plano tangente à
no ponto
.
b) Calcule
, e
.
a) Calcule a equação do plano tangente à
b) Calcule
Passo 1
O enunciado define a superfície
por
onde
é função implícita de
e
. Pede-se:
a) o plano tangente a em
;
b) as derivadas parciais e
avaliadas em
.
Usaremos gradiente para o plano tangente e diferenciação implícita para as parciais.
a) o plano tangente a
b) as derivadas parciais
Usaremos gradiente para o plano tangente e diferenciação implícita para as parciais.
Passo 2
Para achar o plano tangente calculamos o gradiente de
:
Em
temos
,
,
,
logo
logo
Esse vetor é normal ao plano. A equação do plano tangente em
é
ou seja
Passo 3
Para as derivadas implícitas usamos
Aqui
,
,
.
Passo 4
No ponto
vale
,
.
Então
Então
Resposta
(a) O plano tangente em
é
(b)