Questão 5. (2.0 pontos) Considere a superfície S definida pela equação
\operatorname{sen}(x)+\operatorname{sen}(y)+\operatorname{sen}(z)=1
onde a variável z é dada implicitamente em função de x e de y.
a) Calcule a equação do plano tangente à S no ponto \left(\frac{\pi}{2}, 0,0\right).
b) Calcule \frac{\partial z}{\partial x}\left(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right), e \frac{\partial z}{\partial y}\left(0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right).

Passo 1

O enunciado define a superfície S por
F(x,y,z)=\sin(x)+\sin(y)+\sin(z)-1=0,
onde z é função implícita de x e y. Pede-se:
a) o plano tangente a S em \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr);
b) as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} avaliadas em \bigl(0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\bigr).
Usaremos gradiente para o plano tangente e diferenciação implícita para as parciais.

Passo 2

Para achar o plano tangente calculamos o gradiente de F:
\nabla F(x,y,z) =\bigl(\cos(x),\,\cos(y),\,\cos(z)\bigr).
Em P=\bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr) temos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0, \cos(0)=1, \cos(0)=1,
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\nabla F(P)=(0,1,1).
Esse vetor é normal ao plano. A equação do plano tangente em P é
\nabla F(P)\cdot\bigl(x-\tfrac{\pi}{2},\,y-0,\,z-0\bigr)=0
ou seja
0\,(x-\tfrac{\pi}{2})+1\,(y-0)+1\,(z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad y+z=0.

Passo 3

Para as derivadas implícitas usamos
F_x+\;F_z\,\frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},
F_y+\;F_z\,\frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.
Aqui F_x=\cos(x), F_y=\cos(y), F_z=\cos(z).

Passo 4

No ponto \bigl(0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\bigr) vale \cos(0)=1, \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Então
\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{\cos(0)}{\cos(\pi/6)} =-\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}} =-\frac{2}{\sqrt{3}} =-\frac{2\sqrt{3}}{3},
\frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{\cos(\pi/6)}{\cos(\pi/6)} =-1.

Resposta

(a) O plano tangente em \bigl(\tfrac{\pi}{2},0,0\bigr) é
y+z=0.
(b)
\frac{\partial z}{\partial x}\Bigl(0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =-\frac{2\sqrt{3}}{3}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}\Bigl(0,\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{6}\Bigr) =-1.

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