Questão 3. (
pontos) Determine e classifique os pontos críticos da função
Obs:
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis: encontramos os pontos críticos zerando o gradiente e depois usamos a matriz Hessiana para classificar cada ponto.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia e sabendo que
é sempre positivo, obtemos
Passo 3
Para achar os pontos críticos, impomos
Logo existe um único ponto crítico em
.
Passo 4
Para classificar esse ponto, precisamos da matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
com
.
Passo 5
No ponto
temos
A determinante da Hessiana vale
Como
e
, a Hessiana é definida negativa, indicando que
é um ponto de máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é
e ele é um máximo local.