Questão 3. ( \mathbf{2 . 0} pontos) Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=\exp \left(4 y-x^{2}-y^{2}\right)
Obs: \exp (t)=e^{t}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
f(x,y)=\exp\bigl(4y - x^2 - y^2\bigr).
O conteúdo envolvido é cálculo em várias variáveis: encontramos os pontos críticos zerando o gradiente e depois usamos a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Aplicando a regra da cadeia e sabendo que \exp(\cdot) é sempre positivo, obtemos
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\exp(4y - x^2 - y^2) = -2x\,\exp(4y - x^2 - y^2),
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\exp(4y - x^2 - y^2) = (4 - 2y)\,\exp(4y - x^2 - y^2).

Passo 3

Para achar os pontos críticos, impomos
f_x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,
f_y = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4 - 2y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y=2.
Logo existe um único ponto crítico em (0,2).

Passo 4

Para classificar esse ponto, precisamos da matriz Hessiana, cujos elementos são as segundas derivadas:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\,f\bigr) = -2\,f + 4x^2\,f,
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl((4-2y)\,f\bigr) = -2\,f + (4-2y)^2\,f,
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\,f\bigr) = -2x\,(4-2y)\,f,
com f=\exp(4y - x^2 - y^2).

Passo 5

No ponto (0,2) temos
f(0,2)=e^{4},\quad f_{xx}(0,2)=-2e^{4},\quad f_{yy}(0,2)=-2e^{4},\quad f_{xy}(0,2)=0.
A determinante da Hessiana vale
D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = (-2e^4)(-2e^4) - 0 = 4e^8 > 0.
Como D>0 e f_{xx}(0,2)<0, a Hessiana é definida negativa, indicando que (0,2) é um ponto de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é (0,2) e ele é um máximo local.

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