Um ponto material de massa 1 g se move em linha reta devido à açaõ de uma força que é diretamente proporcional ao tempo, calculado desde o instante t=0, e inversamente proporcional à velocidade do ponto. No instante t=10 \mathrm{~s} a velocidade era igual a 50 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}, e a força, igual a 4 dinas. Qual a velocidade do ponto após 1 minuto de início do deslocamento?

Passo 1

O enunciado fala de um ponto material de massa 1 g sujeito a uma força que varia diretamente com o tempo t e inversamente com a velocidade v. Em notação,
F(t,v)=\frac{k\,t}{v},
onde k é uma constante. Como a massa é m=1 g, pela Segunda Lei de Newton temos
m\,\frac{dv}{dt}=F(t,v).
Nas condições iniciais sabemos que em t=10 s vale v(10)=50 cm/s e F(10,50)=4 dinas. O objetivo é achar v(60), ou seja, a velocidade após 1 minuto.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento e simplificando com m=1,
\frac{dv}{dt}=\frac{k\,t}{v}.
Separamos as variáveis:
v\,dv = k\,t\,dt.
Agora integramos de 0 a t:
\int_{v(0)}^{v(t)} v\,dv = \int_{0}^{t} k\,t'\,dt' \quad\Longrightarrow\quad \frac{v(t)^2}{2}-\frac{v(0)^2}{2} = \frac{k\,t^2}{2}.
Portanto
v(t)^2 = v(0)^2 + k\,t^2.

Passo 3

Para encontrar k, usamos F(10,50)=4 dinas:
4 = F(10,50) = \frac{k\cdot 10}{50} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{4\cdot 50}{10} = 20.

Passo 4

Com k=20 e sabendo que v(10)=50, da fórmula v(10)^2 = v(0)^2 + k\cdot10^2 segue
50^2 = v(0)^2 + 20\cdot100 \quad\Longrightarrow\quad v(0)^2 = 2500 - 2000 = 500 \quad\Longrightarrow\quad v(0)=\sqrt{500}.

Passo 5

Finalmente, para t=60 s:
v(60)^2 = v(0)^2 + k\cdot60^2 = 500 + 20\cdot3600 = 72500 \quad\Longrightarrow\quad v(60)=\sqrt{72500}=50\sqrt{29}\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

A velocidade do ponto em t=60 s é
50\sqrt{29}\\ \mathrm{cm/s}\approx 269{,}3\\ \mathrm{cm/s}.

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