Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja
a posição do planeta. Sejam
a massa do planeta,
a massa do Sol,
a força da gravidade sobre o planeta,
a constante de Gravitação,
e
.
(c) Conclua dos itens anteriores que o planeta está em um plano contendo a origem e perpendicular a
, isto é, conclua que a órbita do planeta é uma curva plana.
(c) Conclua dos itens anteriores que o planeta está em um plano contendo a origem e perpendicular a
Passo 1
O enunciado (e os itens anteriores) nos dão, de forma relevante para esta parte:
- A posição do planeta é
. Denotamos e . - O momento angular por unidade de massa foi definido como
. - Dos itens anteriores foi obtido que
é constante no tempo, ou seja e portanto existe um vetor constante tal que para todo .
O que se pede aqui: - Mostrar que a órbita do planeta é uma curva plana, precisamente que todos os vetores posição
pertencem a um mesmo plano que contém a origem e é perpendicular a .
Passo 2
Propriedade básica do produto vetorial (cruz): para quaisquer vetores
e
vale que
é ortogonal a
e a
. Em termos de produto escalar isso se escreve como
Aplicando isso aos vetores
e
obtemos, para cada
,
Mas
, logo
Isto mostra que, em cada instante,
é ortogonal ao vetor
.
Passo 3
Usando que
é constante pelo enunciado dos itens anteriores (ou seja
independente de
), a identidade do Passo 2 pode ser escrita simplesmente como
Uma verificação alternativa (só para ver a consistência) é calcular a derivada temporal do escalar
:
Como
isto reduz para
. Mas
pelo mesmo motivo do Passo 2, logo a derivada é zero e
é constante no tempo. Como numa posição inicial qualquer vale
(porque
naquela posição), segue que essa constante é zero para todo
. Portanto novamente
Passo 4
O conjunto de todos os vetores
que satisfazem
é um plano linear que passa pela origem (é justamente o espaço ortogonal a
). Como provamos que para todo
temos
, isso significa que todos os vetores posição
pertencem a esse mesmo plano fixo.
Passo 5
Conclusão geométrica e intuição: a direção de
é fixa (momento angular conservado), e
é ortogonal a cada vetor posição
. Logo a trajetória do planeta fica confinada ao plano perpendicular a
que passa pela origem (o Sol). Assim a órbita é uma curva plana.
Resposta
A órbita do planeta é uma curva plana contida no plano
, ou seja, no plano que passa pela origem e é perpendicular a
.