Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja r=\vec{r}(t) a posição do planeta. Sejam v=r^{\prime}, a=v^{\prime}, m a massa do planeta, M a massa do Sol, F a força da gravidade sobre o planeta, G a constante de Gravitação, \bar{r}=|r| e u=\frac{r}{\bar{r}}.
(c) Conclua dos itens anteriores que o planeta está em um plano contendo a origem e perpendicular a h, isto é, conclua que a órbita do planeta é uma curva plana.

Passo 1

O enunciado (e os itens anteriores) nos dão, de forma relevante para esta parte:
  • A posição do planeta é \vec{r}(t). Denotamos \vec{v}(t)=\vec{r}'(t) e \vec{a}(t)=\vec{v}'(t).
  • O momento angular por unidade de massa foi definido como \vec{h}(t)=\vec{r}(t)\times\vec{v}(t).
  • Dos itens anteriores foi obtido que \vec{h}(t) é constante no tempo, ou seja \vec{h}'(t)=\vec{0} e portanto existe um vetor constante \vec{h} tal que \vec{h}(t)=\vec{h} para todo t.
    O que se pede aqui:
  • Mostrar que a órbita do planeta é uma curva plana, precisamente que todos os vetores posição \vec{r}(t) pertencem a um mesmo plano que contém a origem e é perpendicular a \vec{h}.

Passo 2

Propriedade básica do produto vetorial (cruz): para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b} vale que \vec{a}\times\vec{b} é ortogonal a \vec{a} e a \vec{b}. Em termos de produto escalar isso se escreve como
\vec{a}\cdot(\vec{a}\times\vec{b})=0.
Aplicando isso aos vetores \vec{r}(t) e \vec{v}(t) obtemos, para cada t,
\vec{r}(t)\cdot\big(\vec{r}(t)\times\vec{v}(t)\big)=0.
Mas \vec{r}(t)\times\vec{v}(t)=\vec{h}(t), logo
\vec{r}(t)\cdot\vec{h}(t)=0\quad\text{para todo }t.
Isto mostra que, em cada instante, \vec{r}(t) é ortogonal ao vetor \vec{h}(t).

Passo 3

Usando que \vec{h}(t) é constante pelo enunciado dos itens anteriores (ou seja \vec{h}(t)=\vec{h} independente de t), a identidade do Passo 2 pode ser escrita simplesmente como
\vec{r}(t)\cdot\vec{h}=0\quad\text{para todo }t.
Uma verificação alternativa (só para ver a consistência) é calcular a derivada temporal do escalar \vec{r}(t)\cdot\vec{h}:
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}\cdot\vec{h}\big)=\vec{v}\cdot\vec{h}+\vec{r}\cdot\vec{h}'.
Como \vec{h}'=\vec{0} isto reduz para \frac{d}{dt}(\vec{r}\cdot\vec{h})=\vec{v}\cdot\vec{h}. Mas \vec{v}\cdot\vec{h}=\vec{v}\cdot(\vec{r}\times\vec{v})=0 pelo mesmo motivo do Passo 2, logo a derivada é zero e \vec{r}\cdot\vec{h} é constante no tempo. Como numa posição inicial qualquer vale \vec{r}\cdot\vec{h}=0 (porque \vec{h}=\vec{r}\times\vec{v} naquela posição), segue que essa constante é zero para todo t. Portanto novamente
\vec{r}(t)\cdot\vec{h}=0\quad\text{para todo }t.

Passo 4

O conjunto de todos os vetores \vec{x}\in\mathbb{R}^3 que satisfazem \vec{x}\cdot\vec{h}=0 é um plano linear que passa pela origem (é justamente o espaço ortogonal a \vec{h}). Como provamos que para todo t temos \vec{r}(t)\cdot\vec{h}=0, isso significa que todos os vetores posição \vec{r}(t) pertencem a esse mesmo plano fixo.

Passo 5

Conclusão geométrica e intuição: a direção de \vec{h} é fixa (momento angular conservado), e \vec{h} é ortogonal a cada vetor posição \vec{r}(t). Logo a trajetória do planeta fica confinada ao plano perpendicular a \vec{h} que passa pela origem (o Sol). Assim a órbita é uma curva plana.

Resposta

A órbita do planeta é uma curva plana contida no plano \{\vec{x}\in\mathbb{R}^3\mid \vec{x}\cdot\vec{h}=0\}, ou seja, no plano que passa pela origem e é perpendicular a \vec{h}.

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