Uma força F=(c x-4,5 x^2) imath, em que F está em newtons, x em metros, e c é uma constante, age sobre uma partícula que se desloca ao longo de um eixo x. Em x=0, a energia cinética da partícula é 30,0 J; em x=4,00 m, é 11,0 J. Determine o valor de c.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma força F = (c,x - 4,5,x^2),imath que atua sobre uma partícula se movendo ao longo do eixo x. A energia cinética dessa partícula muda de 30,0,J em x = 0 para 11,0,J em x = 4,00,m. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante c. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Trabalho e Energia, que relaciona o trabalho feito por uma força com a variação da energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Trabalho W realizado por uma força ao longo de um deslocamento é dado pela integral da força em relação ao deslocamento:
W = integralxi^xf F(x) , dx
Aqui, F(x) = c,x - 4,5,x^2.

Passo 3

Segundo o Teorema do Trabalho e Energia, a variação da energia cinética De é igual ao trabalho realizado:
De
Sabemos que:
KEi = 30,0,J em xi = 0,m
KEf = 11,0,J em xf = 4,00,m
Então,
11,0,J - 30,0,J = W
-19,0,J = W

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho W integrando a força de 0 a 4,00,m:
W = integral0^4 (c,x - 4,5,x^2) , dx
Integrando termo a termo:
W = c integral0^4 x , dx - 4,5 integral0^4 x^2 , dx
W = c [ x^22 ]0^4 - 4,5 [ x^33 ]0^4
W = c ( 162 - 0 ) - 4,5 ( 643 - 0 )
W = 8c - 4,5 times 643
W = 8c - 96

Passo 5

Sabemos que W = -19,0,J, então:
8c - 96 = -19,0
8c = -19,0 + 96
8c = 77,0
c = 77,08
c = 9,625,N/m

Resposta

O valor de c é 9,625,N/m.

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