Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa de 3,2 libras é presa à mola e o sistema é então imerso em um meio viscoso que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a
da velocidade instantânea (use
pés
).
Determine t para a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
Determine t para a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.
Passo 1
Temos uma mola que se estica
pé sob uma força de
libras, logo a constante elástica é
Pesa-se uma massa de
libras, que em unidades de massa (slugs) vale
O amortecimento é uma força de módulo
vezes a velocidade (em ft/s), então o coeficiente de amortecimento é
Vamos montar a equação de movimento e achar o instante em que a massa cruza a posição de equilíbrio estático dirigindo-se para cima.
Passo 2
Medindo-se
a partir da posição de equilíbrio estático, a EDO homogênea é
Dividindo por
, fica
A equação característica é
cuja discriminante é
. Assim
e a solução geral é
Passo 3
No instante
a mola estava estendida
pé (pelo enunciado) enquanto o equilíbrio estático exige extensão
pés. Logo
Daí
. Para
calculamos
com
. Em
isso dá
Passo 4
Queremos o primeiro
tal que
e
(movendo-se para cima, já que
positivo é deslocamento para baixo). Da condição
vem
As soluções são
Para a travessia dirigindo-se para cima, precisamos de
, o que ocorre na raiz
Passo 5
Isolando
:
Resposta
O primeiro instante em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima é