Uma força de 2 libras distende uma mola em 1 pé. Uma massa de 3,2 libras é presa à mola e o sistema é então imerso em um meio viscoso que oferece uma força de amortecimento numericamente igual a 14 da velocidade instantânea (use g=32 pés / s^2 ).
Determine t para a primeira vez em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima.

Passo 1

Temos uma mola que se estica 1 pé sob uma força de 2 libras, logo a constante elástica é
k=21=2;lbf/ft
Pesa-se uma massa de 3,2 libras, que em unidades de massa (slugs) vale
m=3,232=0,1;slug
O amortecimento é uma força de módulo tfrac14 vezes a velocidade (em ft/s), então o coeficiente de amortecimento é
c=0,25;lbfcdots/ft
Vamos montar a equação de movimento e achar o instante em que a massa cruza a posição de equilíbrio estático dirigindo-se para cima.

Passo 2

Medindo-se x(t) a partir da posição de equilíbrio estático, a EDO homogênea é
m,x''+c,x'+k,x=0 Longrightarrow 0,1,x''+0,25,x'+2,x=0
Dividindo por 0,1, fica
x''+2,5,x'+20,x=0
A equação característica é
r^2+2,5,r+20=0,
cuja discriminante é De<a=2,5^2-4cdot20=-73,75<0. Assim
r=-1,25pm i,4,294
e a solução geral é
x(t)=e^-1,25,tl(C1cos(4,294,t)+C2sin(4,294,t)r)

Passo 3

No instante t=0 a mola estava estendida 1 pé (pelo enunciado) enquanto o equilíbrio estático exige extensão mg/k=3,2/2=1,6 pés. Logo
x(0)=1-1,6=-0,6e x'(0)=0
Daí C1=x(0)=-0,6. Para x'(0)=0 calculamos
x'(t)=e^-1,25tl[-1,25(C1cosbeta t+C2sinbeta t) +(-C1betasinbeta t+C2betacosbeta t)r],
com beta=4,294. Em t=0 isso dá
0=x'(0)=-1,25,C1+beta,C2 Longrightarrow C2=--1,25,C1beta =--1,25cdot(-0,6)4,294 approx-0,1746

Passo 4

Queremos o primeiro t>0 tal que x(t)=0 e x'(t)<0 (movendo-se para cima, já que x positivo é deslocamento para baixo). Da condição x(t)=0 vem
-0,6cos(beta t)-0,1746sin(beta t)=0 Longrightarrow tan(beta t)=-0,60,1746approx-3,437
As soluções são
beta t = -arctan(3,437)+npi
Para a travessia dirigindo-se para cima, precisamos de x'(t)<0, o que ocorre na raiz
beta t = 2pi -arctan(3,437)approx4,991;rad

Passo 5

Isolando t:
t=4,991beta =4,9914,294 approx1,162;s

Resposta

O primeiro instante em que a massa cruza a posição de equilíbrio dirigindo-se para cima é
tapprox1,16;s

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