Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime prime+5 y=4 y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes \r
y'' + 5y = 4y' \r
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão homogênea, agrupando todos os termos no lado esquerdo: \r
y'' - 4y' + 5y = 0

Passo 3

Formamos o polinômio característico associado à EDO substituindo ymapsto e^rx: \r
r^2 - 4r + 5 = 0

Passo 4

Calculamos as raízes usando a fórmula de Bhaskara: \r
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4cdot1cdot52 = 4 pm raiz16 - 202 = 4 pm raiz-42 = 2 pm i

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas r = 2 pm i, a solução geral real é dada por \r
y(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr), \r
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr)

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