Seja
um número real. O problema envolvendo a equação diferencial
e o valor de
em dois pontos distintos, ou seja,
é chamado problema de valores de contorno.
Para o caso
, determine os valores de
para os quais este problema tenha uma solução não trivial e determine a solução correspondente.
Para o caso
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pegando aqui. Temos uma equação diferencial do tipo
com duas condições:
e
. Isso é o que chamamos de problema de valores de contorno. Nosso objetivo é descobrir para quais valores positivos de
esse problema tem soluções que não sejam triviais (ou seja, soluções diferentes de zero) e também encontrar essas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação depende do sinal de
.
Como
, podemos reescrever a equação como
. A solução geral para essa equação é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 3
Agora, aplicamos a primeira condição de contorno:
.
Substituindo
na solução geral:
Então,
. A solução agora fica:
Passo 4
Vamos aplicar a segunda condição de contorno:
.
Substituindo
na solução simplificada:
Queremos soluções não triviais, ou seja,
. Portanto, para que a equação seja satisfeita, temos que:
Passo 5
A função seno é zero para argumentos múltiplos de
. Ou seja:
Resolvendo para
:
Então, os valores de
que satisfazem o problema são aqueles que são quadrados de múltiplos inteiros de
.
Passo 6
Agora que temos os valores de
, podemos escrever a solução correspondente para cada
:
Aqui,
é uma constante que pode ser determinada se tivermos mais informações, mas como o problema pede apenas a forma geral da solução, podemos deixá-la como está.
Resposta
Os valores de
para os quais o problema tem solução não trivial são
para
. A solução correspondente é
, onde
é uma constante arbitrária.