Seja L neq 0 um número real. O problema envolvendo a equação diferencial y^prime prime+mu y=0 e o valor de y em dois pontos distintos, ou seja,
c y^prime prime+mu y=0 y(0)=0, y(L)=0
é chamado problema de valores de contorno.
Para o caso mu>0, determine os valores de mu para os quais este problema tenha uma solução não trivial e determine a solução correspondente.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pegando aqui. Temos uma equação diferencial do tipo y'' + mu y = 0 com duas condições: y(0) = 0 e y(L) = 0 . Isso é o que chamamos de problema de valores de contorno. Nosso objetivo é descobrir para quais valores positivos de mu esse problema tem soluções que não sejam triviais (ou seja, soluções diferentes de zero) e também encontrar essas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial y'' + mu y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação depende do sinal de mu .
Como mu > 0 , podemos reescrever a equação como y'' + mu y = 0 . A solução geral para essa equação é:
y(x) = A cos(raizmu , x) + B sin(raizmu , x)
Aqui, A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 3

Agora, aplicamos a primeira condição de contorno: y(0) = 0 .
Substituindo x = 0 na solução geral:
0 = A cos(0) + B sin(0) 0 = A cdot 1 + B cdot 0 0 = A
Então, A = 0 . A solução agora fica:
y(x) = B sin(raizmu , x)

Passo 4

Vamos aplicar a segunda condição de contorno: y(L) = 0 .
Substituindo x = L na solução simplificada:
0 = B sin(raizmu , L)
Queremos soluções não triviais, ou seja, B neq 0 . Portanto, para que a equação seja satisfeita, temos que:
sin(raizmu , L) = 0

Passo 5

A função seno é zero para argumentos múltiplos de pi . Ou seja:
raizmu , L = npi onde n = 1, 2, 3, dots
Resolvendo para mu :
raizmu = npiL mu = (npiL)^2 mun = n^2 pi^2L^2
Então, os valores de mu que satisfazem o problema são aqueles que são quadrados de múltiplos inteiros de pi/L .

Passo 6

Agora que temos os valores de mun , podemos escrever a solução correspondente para cada n :
yn(x) = B sin(npiL x)
Aqui, B é uma constante que pode ser determinada se tivermos mais informações, mas como o problema pede apenas a forma geral da solução, podemos deixá-la como está.

Resposta

Os valores de mu para os quais o problema tem solução não trivial são mun = dfracn^2 pi^2L^2 para n = 1, 2, 3, dots . A solução correspondente é yn(x) = B sin(dfracnpiL x) , onde B é uma constante arbitrária.

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