Jaime (massa =90,0 \mathrm{~kg} ) está a uma distância de 20,0 \mathrm{~m} de Rui (massa =60,0 \mathrm{~kg} ). Eles estão brincando de cabo-de-guerra em pé sobre uma superficie lisa de um lago congelado. Na metade da distância entre eles, uma caneca está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Considere que eles se movimentam apenas numa direção, agora responda:
(a) Quando Jaime se desloca 6,0 \mathrm{~m} no sentido da caneca, quanto se desloca Rui?
(b) Suponha agora que Rui puxa a corda de forma que ele atinge uma velocidade de 0,70 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e Jaime 0,50 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a velocidade do centro de massa deles?

Passo 1

O enunciado dá duas pessoas, Jaime e Rui, sobre gelo liso (ou seja, sem forças horizontais externas). As massas e dados fornecidos são:
  • massa de Jaime: m_J = 90,0\\ \mathrm{kg},
  • massa de Rui: m_R = 60,0\\ \mathrm{kg},
  • distância inicial entre eles: 20,0\\ \mathrm{m},
  • a caneca está no ponto médio (a 10,0\\ \mathrm{m} de cada um).
    As perguntas são:
    (a) Se Jaime se desloca 6,0\\ \mathrm{m} no sentido da caneca, quanto se desloca Rui?
    (b) Se Rui tem velocidade 0,70\\ \mathrm{m/s} e Jaime tem velocidade 0,50\\ \mathrm{m/s}, qual é a velocidade do centro de massa do sistema Jaime+Rui?

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicação didática): centro de massa e ausência de força externa horizontal.
  • O centro de massa (CM) de duas partículas com massas m_J e m_R e posições x_J e x_R é dado por \displaystyle x_{CM}=\frac{m_J x_J + m_R x_R}{m_J + m_R}.
  • Se não há forças externas horizontais (gelo liso), a posição do centro de massa não muda com o tempo: x_{CM} é constante.
  • Da constância de x_{CM} segue que pequenas mudanças de posição satisfaçam \displaystyle m_J \,\Delta x_J + m_R \,\Delta x_R = 0. Isso é muito útil: os deslocamentos são inversamente proporcionais às massas, com sinais opostos (se uma massa vai para o lado positivo, a outra tem de compensar).
Vou usar convenção de sinais simples: tomo o eixo horizontal apontando da posição inicial de Jaime para a posição inicial de Rui (ou seja, “direção para a direita” = sentido de Jaime → Rui). Assim, se Jaime se desloca nesse sentido, \Delta x_J>0; se Rui se desloca no sentido oposto, \Delta x_R<0.

Passo 3

Aplicando a relação da constância do CM para o item (a).
  • Sabemos que Jaime se desloca \Delta x_J = +6,0\\ \mathrm{m} (positivo porque ele se aproxima da caneca, que está entre os dois; na nossa convenção isso é para a direita).
  • A condição de CM fixo é \displaystyle m_J \,\Delta x_J + m_R \,\Delta x_R = 0.
  • Portanto \displaystyle \Delta x_R = -\frac{m_J}{m_R}\,\Delta x_J.

Passo 4

Substituindo números no passo anterior (mostrando as contas):
  • \displaystyle \Delta x_R = -\frac{90,0}{60,0}\times 6,0.
  • Calculemos a razão: \displaystyle \frac{90,0}{60,0}=1,5.
  • Então \displaystyle \Delta x_R = -1,5\times 6,0 = -9,0\\ \mathrm{m}.
    Interpretação: o sinal negativo indica que Rui se desloca no sentido oposto ao escolhido como positivo (isto é, para a esquerda na nossa convenção), ou seja, em direção à caneca. Em palavras simples: quando Jaime anda 6,0\\ \mathrm{m} para o centro, Rui anda 9,0\\ \mathrm{m} para o centro.

Passo 5

Agora o item (b): velocidade do centro de massa — explicação didática.
  • Se não há força externa horizontal, a velocidade do centro de massa também é constante e dada por
    \displaystyle v_{CM}=\frac{m_J v_J + m_R v_R}{m_J + m_R}.
  • Aqui v_J e v_R são as velocidades scalars com sinal conforme a mesma convenção: positivo no sentido Jaime→Rui (direita).
  • No cenário de puxarem a corda um contra o outro, Jaime e Rui movem-se um na direção oposta ao outro. Assim, se Jamie se move para a direita com 0,50\\ \mathrm{m/s} (positivo), Rui está se movendo para a esquerda com 0,70\\ \mathrm{m/s}, o que em nossa convenção significa v_R = -0,70\\ \mathrm{m/s} e v_J = +0,50\\ \mathrm{m/s}. É importante pensar nos sinais antes de aplicar a fórmula.

Passo 6

Substituindo na fórmula de v_{CM} e calculando (passo a passo):
  • Soma das massas: m_J+m_R = 90,0 + 60,0 = 150,0\\ \mathrm{kg}.
  • Produto de massas por velocidades: m_J v_J + m_R v_R = 90,0\times 0,50 + 60,0\times(-0,70).
  • Calculemos cada termo: 90,0\times 0,50 = 45,0 e 60,0\times(-0,70) = -42,0.
  • Soma: 45,0 + (-42,0) = 3,0.
  • Portanto \displaystyle v_{CM}=\frac{3,0}{150,0}=0,020\\ \mathrm{m/s}.
  • O sinal positivo (0,020) significa que o centro de massa move-se no sentido positivo definido (direção Jaime→Rui), ou seja, ligeiramente na direção de Rui.

Resposta

(a) \Delta x_R = -9,0\\ \mathrm{m} (ou seja, Rui desloca-se 9,0\\ \mathrm{m} em direção à caneca).
(b) v_{CM}=0,020\\ \mathrm{m/s} (na direção de Rui).

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