Jaime (massa
) está a uma distância de
de Rui (massa
). Eles estão brincando de cabo-de-guerra em pé sobre uma superficie lisa de um lago congelado. Na metade da distância entre eles, uma caneca está apoiada sobre o gelo. Eles puxam as extremidades de uma corda leve esticada entre eles. Considere que eles se movimentam apenas numa direção, agora responda:
(a) Quando Jaime se desloca
no sentido da caneca, quanto se desloca Rui?
(b) Suponha agora que Rui puxa a corda de forma que ele atinge uma velocidade de
e Jaime
, qual é a velocidade do centro de massa deles?
(a) Quando Jaime se desloca
(b) Suponha agora que Rui puxa a corda de forma que ele atinge uma velocidade de
Passo 1
O enunciado dá duas pessoas, Jaime e Rui, sobre gelo liso (ou seja, sem forças horizontais externas). As massas e dados fornecidos são:
- massa de Jaime:
, - massa de Rui:
, - distância inicial entre eles:
, - a caneca está no ponto médio (a
de cada um).
As perguntas são:
(a) Se Jaime se deslocano sentido da caneca, quanto se desloca Rui?
(b) Se Rui tem velocidadee Jaime tem velocidade , qual é a velocidade do centro de massa do sistema Jaime+Rui?
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicação didática): centro de massa e ausência de força externa horizontal.
- O centro de massa (CM) de duas partículas com massas
e e posições e é dado por . - Se não há forças externas horizontais (gelo liso), a posição do centro de massa não muda com o tempo:
é constante. - Da constância de
segue que pequenas mudanças de posição satisfaçam . Isso é muito útil: os deslocamentos são inversamente proporcionais às massas, com sinais opostos (se uma massa vai para o lado positivo, a outra tem de compensar).
Vou usar convenção de sinais simples: tomo o eixo horizontal apontando da posição inicial de Jaime para a posição inicial de Rui (ou seja, “direção para a direita” = sentido de Jaime → Rui). Assim, se Jaime se desloca nesse sentido,
; se Rui se desloca no sentido oposto,
.
Passo 3
Aplicando a relação da constância do CM para o item (a).
- Sabemos que Jaime se desloca
(positivo porque ele se aproxima da caneca, que está entre os dois; na nossa convenção isso é para a direita). - A condição de CM fixo é
. - Portanto
.
Passo 4
Substituindo números no passo anterior (mostrando as contas):
-
. - Calculemos a razão:
. - Então
Interpretação: o sinal negativo indica que Rui se desloca no sentido oposto ao escolhido como positivo (isto é, para a esquerda na nossa convenção), ou seja, em direção à caneca. Em palavras simples: quando Jaime andapara o centro, Rui anda para o centro.
Passo 5
Agora o item (b): velocidade do centro de massa — explicação didática.
- Se não há força externa horizontal, a velocidade do centro de massa também é constante e dada por
- Aqui
e são as velocidades scalars com sinal conforme a mesma convenção: positivo no sentido Jaime→Rui (direita). - No cenário de puxarem a corda um contra o outro, Jaime e Rui movem-se um na direção oposta ao outro. Assim, se Jamie se move para a direita com
(positivo), Rui está se movendo para a esquerda com , o que em nossa convenção significa e . É importante pensar nos sinais antes de aplicar a fórmula.
Passo 6
Substituindo na fórmula de
e calculando (passo a passo):
- Soma das massas:
. - Produto de massas por velocidades:
. - Calculemos cada termo:
e . - Soma:
. - Portanto
- O sinal positivo (0,020) significa que o centro de massa move-se no sentido positivo definido (direção Jaime→Rui), ou seja, ligeiramente na direção de Rui.
Resposta
(a)
(ou seja, Rui desloca-se
em direção à caneca).
(b) (na direção de Rui).
(b)