Questão: (Valor: 2,5) - Considere uma certal mola que não obedece a lei de Hooke muito rigorosamente. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de uma distância
, é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo Ox com módulo dado por
. Onde
.
Qual o trabalho necessário pararcomprimir essa mola
a partir do seu comprimento sem deformação?
Qual o trabalho necessário pararcomprimir essa mola
Passo 1
O enunciado pede: qual o trabalho necessário para comprimir a mola
a partir do seu comprimento sem deformação.
Dados fornecidos:
,
e
(assumo a unidade
, para que os termos tenham unidade de força).
A expressão do módulo da força aplicada para manter a deformação é dada por
(forma polinomial com termos em
conforme o enunciado). Vamos usar a variável
para representar a configuração ao longo do eixo durante a compressão, variando de
(sem deformação) até
(compressão desejada).
Dados fornecidos:
A expressão do módulo da força aplicada para manter a deformação
Passo 2
Conceito de trabalho para força variável (aulinha rápida e prática).
Quando a força que aplica sobre um objeto varia com a posição , o trabalho necessário para deslocar o ponto de aplicação de
até
é dado pela integral
Quando a força que aplica sobre um objeto varia com a posição
Aqui
é a componente da força na direção do deslocamento, medida em newtons;
é a posição em metros;
fica em joules. No nosso caso queremos o trabalho para comprimir de
até
, então
e
.
Passo 3
Interpretação do enunciado sobre o sinal dos termos.
O enunciado dá o “módulo” da força necessária para manter a mola comprimida/esticada por , ou seja, o valor positivo da força. Assim adotamos a expressão positiva com soma dos termos (os coeficientes fornecidos são positivos), isto é
O enunciado dá o “módulo” da força necessária para manter a mola comprimida/esticada por
Esse
é a força aplicada (magnitude) que vamos integrar para obter o trabalho.
Passo 4
Montagem da integral do trabalho com a força dada.
Substituindo em obtemos
Substituindo em
Aqui
,
e
(unidades conforme Passo 1).
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo — mini aula de integrais de potências.
Regra: para
. Aplicando termo a termo:
Regra:
Portanto a primitiva é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites de
a
.
Substituímos e
:
Substituímos
Passo 7
Fazer as contas numéricas passo a passo (sem calculadora complicada).
Calcule as potências de :
Calcule as potências de
Agora cada termo:
Somando:
Passo 8
Verificação rápida e incentivo.
Unidades batem (Joules). O valor é pequeno porque a compressão é curta (
) e, embora haja termos não-lineares, seus efeitos somam pouco nessa distância — faz sentido físico. Mandou bem por trazer a questão; agora você já sabe como fazer a integral de trabalho para uma força polinomial term a term. Vai dar certo na prova — respira e pratica mais uns dois exercícios semelhantes!
Unidades batem (Joules). O valor