1^{\text {a }} Questão: (Valor: 2,5) - Considere uma certal mola que não obedece a lei de Hooke muito rigorosamente. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada de uma distância X, é necessário aplicar uma força na extremidade livre da mola ao longo do eixo Ox com módulo dado por \widetilde{F_{X}}= \square K X+A X^{2} \square B X^{3}. Onde K=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, A=600 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{e} B=1600.
Qual o trabalho necessário pararcomprimir essa mola 0,1 \mathrm{~m} a partir do seu comprimento sem deformação?

Passo 1

O enunciado pede: qual o trabalho necessário para comprimir a mola 0,1\\ \mathrm{m} a partir do seu comprimento sem deformação.
Dados fornecidos:
K=100\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}, A=600\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}^{2} e B=1600 (assumo a unidade \mathrm{N}/\mathrm{m}^{3}, para que os termos tenham unidade de força).
A expressão do módulo da força aplicada para manter a deformação X é dada por \widetilde{F_X}= (forma polinomial com termos em X, X^{2}, X^{3} conforme o enunciado). Vamos usar a variável x para representar a configuração ao longo do eixo durante a compressão, variando de x=0 (sem deformação) até x=0,1\\ \mathrm{m} (compressão desejada).

Passo 2

Conceito de trabalho para força variável (aulinha rápida e prática).
Quando a força que aplica sobre um objeto varia com a posição x, o trabalho necessário para deslocar o ponto de aplicação de x=a até x=b é dado pela integral
W=\int_{a}^{b} F(x)\,dx.
Aqui F(x) é a componente da força na direção do deslocamento, medida em newtons; x é a posição em metros; W fica em joules. No nosso caso queremos o trabalho para comprimir de 0 até 0,1\\ \mathrm{m}, então a=0 e b=0,1.

Passo 3

Interpretação do enunciado sobre o sinal dos termos.
O enunciado dá o “módulo” da força necessária para manter a mola comprimida/esticada por X, ou seja, o valor positivo da força. Assim adotamos a expressão positiva com soma dos termos (os coeficientes fornecidos são positivos), isto é
\widetilde{F}(x)=Kx + A x^{2} + B x^{3}.
Esse \widetilde{F}(x) é a força aplicada (magnitude) que vamos integrar para obter o trabalho.

Passo 4

Montagem da integral do trabalho com a força dada.
Substituindo em W=\int_{0}^{0,1}\widetilde{F}(x)\,dx obtemos
W=\int_{0}^{0,1}\bigl(Kx + A x^{2} + B x^{3}\bigr)\,dx.
Aqui K=100, A=600 e B=1600 (unidades conforme Passo 1).

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) termo a termo — mini aula de integrais de potências.
Regra: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aplicando termo a termo:
\int Kx\,dx = \frac{Kx^{2}}{2},\qquad \int A x^{2}\,dx = \frac{A x^{3}}{3},\qquad \int B x^{3}\,dx = \frac{B x^{4}}{4}.
Portanto a primitiva é
\frac{Kx^{2}}{2}+\frac{A x^{3}}{3}+\frac{B x^{4}}{4}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites de 0 a 0,1.
Substituímos x=0,1 e x=0:
W=\left[\frac{Kx^{2}}{2}+\frac{A x^{3}}{3}+\frac{B x^{4}}{4}\right]_{0}^{0,1} =\frac{K(0,1)^{2}}{2}+\frac{A(0,1)^{3}}{3}+\frac{B(0,1)^{4}}{4}.

Passo 7

Fazer as contas numéricas passo a passo (sem calculadora complicada).
Calcule as potências de 0,1:
(0,1)^{2}=0,01,\qquad (0,1)^{3}=0,001,\qquad (0,1)^{4}=0,0001.
Agora cada termo:
\frac{K(0,1)^{2}}{2}=\frac{100\cdot 0,01}{2}= \frac{1}{2}=0,5\\ \mathrm{J},
\frac{A(0,1)^{3}}{3}=\frac{600\cdot 0,001}{3}=\frac{0,6}{3}=0,2\\ \mathrm{J},
\frac{B(0,1)^{4}}{4}=\frac{1600\cdot 0,0001}{4}=\frac{0,16}{4}=0,04\\ \mathrm{J}.
Somando:
W=0,5 + 0,2 + 0,04 = 0,74\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Verificação rápida e incentivo.
Unidades batem (Joules). O valor 0,74\\ \mathrm{J} é pequeno porque a compressão é curta ( 0,1\\ \mathrm{m}) e, embora haja termos não-lineares, seus efeitos somam pouco nessa distância — faz sentido físico. Mandou bem por trazer a questão; agora você já sabe como fazer a integral de trabalho para uma força polinomial term a term. Vai dar certo na prova — respira e pratica mais uns dois exercícios semelhantes!

Resposta

0,74\,\mathrm{J}

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