Uma membrana de filtração possui perfil descrito pelas curvas y=\sqrt{x} e y=\frac{x}{4}, no intervalo 0 \leq x \leq 16.
  1. Escreva a integral indefinida que representa a área entre as duas curvas.
  2. Calcule a área da membrana no intervalo dado.
  3. Resolva a integral utilizando substituição adequada.

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a área entre as curvas
y = \sqrt{x} \quad\text{e}\quad y = \frac{x}{4}
no intervalo [0,16].
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre curvas usando integrais definidas e, para a antiderivada, a técnica de substituição em integrais com raiz.

Passo 2

Para escrever a integral indefinida que representa a área entre as duas curvas, usamos a fórmula
\int \bigl(\text{função superior} - \text{função inferior}\bigr)\,dxçãçã
logo a integral é
\int \Bigl(\sqrt{x} - \frac{x}{4}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Para calcular a área no intervalo dado, montamos a integral definida
A = \int_{0}^{16} \Bigl(\sqrt{x} - \frac{x}{4}\Bigr)\,dx = \int_{0}^{16} x^{\tfrac12}\,dx \;-\;\frac{1}{4}\int_{0}^{16} x\,dx.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{16} x^{\tfrac12}\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\Big|_{0}^{16} = \frac{2}{3}\cdot64 = \frac{128}{3},
\int_{0}^{16} x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{16} = \frac{256}{2} = 128.
Portanto
A = \frac{128}{3} \;-\;\frac{1}{4}\cdot128 = \frac{128}{3} - 32 = \frac{32}{3}.

Passo 4

Para resolver a integral indefinida
\int \Bigl(\sqrt{x} - \frac{x}{4}\Bigr)\,dx
usamos substituição na parte com raiz. Seja
u = \sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad x = u^{2}, \quad dx = 2u\,du.
Então
\int \sqrt{x}\,dx = \int u \cdot (2u\,du) = \int 2u^{2}\,du = \frac{2}{3}\,u^{3} + C = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} + C.
Já a segunda parte é direta pela regra do poder:
\int \frac{x}{4}\,dx = \frac{1}{4}\,\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{2}}{8} + C.
Juntando tudo, a antiderivada geral é
\int \Bigl(\sqrt{x} - \frac{x}{4}\Bigr)\,dx = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32} - \frac{x^{2}}{8} + C.

Resposta

  1. \displaystyle \int \bigl(\sqrt{x} - \tfrac{x}{4}\bigr)\,dx.
  2. \displaystyle A = \tfrac{32}{3}.
  3. \displaystyle \int \bigl(\sqrt{x} - \tfrac{x}{4}\bigr)\,dx = \tfrac{2}{3}\,x^{\tfrac32} - \tfrac{x^{2}}{8} + C.

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