Uma membrana de filtração possui perfil descrito pelas curvas
e
, no intervalo
.
- Escreva a integral indefinida que representa a área entre as duas curvas.
- Calcule a área da membrana no intervalo dado.
- Resolva a integral utilizando substituição adequada.
Passo 1
O enunciado trata de encontrar a área entre as curvas
no intervalo
.
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre curvas usando integrais definidas e, para a antiderivada, a técnica de substituição em integrais com raiz.
O conteúdo envolvido é o cálculo de área entre curvas usando integrais definidas e, para a antiderivada, a técnica de substituição em integrais com raiz.
Passo 2
Para escrever a integral indefinida que representa a área entre as duas curvas, usamos a fórmula
logo a integral é
Passo 3
Para calcular a área no intervalo dado, montamos a integral definida
Calculando cada parte:
Portanto
Passo 4
Para resolver a integral indefinida
usamos substituição na parte com raiz. Seja
Então
Já a segunda parte é direta pela regra do poder:
Juntando tudo, a antiderivada geral é