A potência de saída de uma turbina a biogás é modelada por P(t)=150 t e^{-0,05 t}(\mathrm{em} \mathrm{kW}), com t em horas.
  1. Determine a integral indefinida de P(t).
  2. Calcule a energia total produzida em 24 horas.
  3. Resolva a integral por substituição adequada.
  4. Explique como o uso de turbinas movidas a biogás contribui para o aproveitamento de resíduos, alinhando-se aos ODS 9, 11e 12 .

Passo 1

O enunciado dá a potência instantânea de uma turbina a biogás
P(t)=150\,t\,e^{-0,05t}\quad(\mathrm{kW}),
com t em horas, e pede:
  1. A integral indefinida de P(t).
  2. A energia total gerada em 24 h (ou seja, \displaystyle\int_{0}^{24}P(t)\,\mathrm{d}t).
  3. Mostrar a resolução da integral por substituição adequada.
  4. Relacionar o uso de turbinas de biogás com o aproveitamento de resíduos e os ODS 9, 11 e 12.

Passo 2

Para achar
\int150\,t\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t
vamos usar integração por partes. Escolhemos
u = t,\quad \mathrm{d}v = 150\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t.
Então
\mathrm{d}u = \mathrm{d}t, \quad v = \int150\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t = -3000\,e^{-0,05t}.
Pela fórmula \int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u, temos
\int150\,t\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t = -3000\,t\,e^{-0,05t} - \int\bigl(-3000\,e^{-0,05t}\bigr)\,\mathrm{d}t = -3000\,t\,e^{-0,05t} +3000\int e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t.
E
\int e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t = -\frac{1}{0,05}\,e^{-0,05t} = -20\,e^{-0,05t}.
Logo a primitiva fica
\int150\,t\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t = -3000\,t\,e^{-0,05t} -60000\,e^{-0,05t} + C = -3000\,(t+20)\,e^{-0,05t} + C.

Passo 3

Para a energia em 24 h, calculamos
E = \int_{0}^{24}P(t)\,\mathrm{d}t = \bigl[-3000\,(t+20)\,e^{-0,05t}\bigr]_{0}^{24}.
Avaliaremos nos extremos:
Para t=24:
-3000\,(24+20)\,e^{-0,05\cdot24} = -3000\cdot44\,e^{-1{,}2} \approx -132000\cdot0{,}3010 \approx -39732.
Para t=0:
-3000\,(0+20)\,e^{0} = -60000.
Portanto
E = (-39732) - (-60000) = 20268\quad(\mathrm{kWh}).

Passo 4

Para resolver por substituição, seja
u = -0,05\,t \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u = -0,05\,\mathrm{d}t \;\Rightarrow\; \mathrm{d}t = -20\,\mathrm{d}u, \;\; t = -\frac{u}{0,05}.
Então
\int150\,t\,e^{-0,05t}\,\mathrm{d}t = \int150\Bigl(-\frac{u}{0,05}\Bigr)e^{u}(-20)\,\mathrm{d}u = 60000\int u\,e^{u}\,\mathrm{d}u.
Agora integração por partes em u\,e^u:
\int u\,e^{u}\,\mathrm{d}u = u\,e^{u} - \int e^{u}\,\mathrm{d}u = (u-1)\,e^{u} + C.
Voltando a t (isto é, u=-0,05t), obtemos de novo
60000\,(u-1)\,e^{u} = 60000(-0,05t -1)\,e^{-0,05t} = -3000\,t\,e^{-0,05t} -60000\,e^{-0,05t}+C.

Passo 5

O uso de turbinas a biogás:
  • Permite aproveitar resíduos orgânicos (esgoto, esterco, restos de alimentos) e transformá-los em energia elétrica ou térmica.
  • Contribui ao ODS 9 (Indústria, Inovação e Infraestrutura) porque incentiva tecnologias limpas e descentralizadas.
  • Alinha-se ao ODS 11 (Cidades e Comunidades Sustentáveis) ao reduzir emissões de metano em lixões e sistemas de esgoto.
  • Está no espírito do ODS 12 (Consumo e Produção Responsáveis) ao valorizar a economia circular, transformando resíduos em recursos energéticos.

Resposta

  1. \displaystyle\int P(t)\,\mathrm{d}t = -3000\,(t+20)\,e^{-0,05t} + C.
  2. Energia em 24 h: E\approx20268\;\mathrm{kWh}.
  3. Substituição u=-0,05t transforma a integral em 60000\int u\,e^{u}\,\mathrm{d}u, levando ao mesmo resultado por partes.
  4. Turbinas a biogás aproveitam resíduos orgânicos, reduzem emissões e aplicam-se aos ODS 9, 11 e 12.

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