A potência de saída de uma turbina a biogás é modelada por
, com
em horas.
- Determine a integral indefinida de
.
- Calcule a energia total produzida em 24 horas.
- Resolva a integral por substituição adequada.
- Explique como o uso de turbinas movidas a biogás contribui para o aproveitamento de resíduos, alinhando-se aos ODS 9, 11e 12 .
Passo 1
O enunciado dá a potência instantânea de uma turbina a biogás
com
em horas, e pede:
- A integral indefinida de
. - A energia total gerada em 24 h (ou seja,
). - Mostrar a resolução da integral por substituição adequada.
- Relacionar o uso de turbinas de biogás com o aproveitamento de resíduos e os ODS 9, 11 e 12.
Passo 2
Para achar
vamos usar integração por partes. Escolhemos
Então
Pela fórmula
, temos
E
Logo a primitiva fica
Passo 3
Para a energia em 24 h, calculamos
Avaliaremos nos extremos:
Para :
Para
Para
:
Portanto
Passo 4
Para resolver por substituição, seja
Então
Agora integração por partes em
:
Voltando a
(isto é,
), obtemos de novo
Passo 5
O uso de turbinas a biogás:
- Permite aproveitar resíduos orgânicos (esgoto, esterco, restos de alimentos) e transformá-los em energia elétrica ou térmica.
- Contribui ao ODS 9 (Indústria, Inovação e Infraestrutura) porque incentiva tecnologias limpas e descentralizadas.
- Alinha-se ao ODS 11 (Cidades e Comunidades Sustentáveis) ao reduzir emissões de metano em lixões e sistemas de esgoto.
- Está no espírito do ODS 12 (Consumo e Produção Responsáveis) ao valorizar a economia circular, transformando resíduos em recursos energéticos.
Resposta
-
- Energia em 24 h:
- Substituição
transforma a integral em , levando ao mesmo resultado por partes. - Turbinas a biogás aproveitam resíduos orgânicos, reduzem emissões e aplicam-se aos ODS 9, 11 e 12.