A força resultante exercida sobre um pequeno bloco de massa m suspenso por uma mola de constante elástica k pode ser escrita como f(x)=k x-m g, onde a posição x corresponde à deformação da mola.
a) A posição de equilíbrio de um sistema é aquela na qual a partícula permanece em repouso, uma vez posicionada nesse ponto com velocidade nula. Encontre a posição de equilíbrio do bloco suspenso.
b) Supondo que o bloco é suspenso a partir da posição x_{0}=0 com velocidade inicial v_{0}, encontre as posições para as quais a velocidade do bloco se anula. O que acontece quando v_{0}=0 ?

Passo 1

O enunciado trata de um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k, com posição x medida a partir da posição sem deformação da mola (positivo para baixo). A força resultante é
f(x)=k\,x - m\,g.
a) Pede-se a posição de equilíbrio, onde o bloco fica em repouso com aceleração nula.
b) Partindo de x(0)=0 e v(0)=v_0, quer-se as posições onde a velocidade se anula (pontos extremos da oscilação) e o caso v_0=0.

Passo 2

Na posição de equilíbrio x_e a aceleração é zero, logo a força resultante deve ser nula:
k\,x_e - m\,g = 0.
Dessa igualdade segue
x_e = \frac{m\,g}{k}.

Passo 3

Escrevemos a equação do movimento segundo a segunda lei de Newton, tomando para baixo o sentido positivo:
m\,\ddot x = -\bigl(k\,x - m\,g\bigr) \quad\Longrightarrow\quad m\,\ddot x + k\,x = m\,g.
Para reduzir a um oscilador harmônico, definimos u = x - x_e. Como k\,x_e = m\,g, substituindo obtemos
m\,\ddot u + k\,u = 0,
que é a equação de um oscilador harmônico de pulsação
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 4

A solução geral é
u(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t).
Voltando a x=x_e+u e aplicando as condições iniciais x(0)=0 e \dot x(0)=v_0, temos
u(0)= -\,x_e = A, \qquad \dot u(0)=v_0 = B\,\omega,
logo
A = -\,x_e, \qquad B = \frac{v_0}{\omega}.
Portanto
x(t) = x_e - x_e\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\,\sin(\omega t).

Passo 5

A velocidade é
\dot x(t) = \dot u(t) = x_e\,\omega\,\sin(\omega t) + v_0\,\cos(\omega t).
Ela se anula quando
x_e\,\omega\,\sin(\omega t) + v_0\,\cos(\omega t) = 0 \;\Longrightarrow\; \tan(\omega t) = -\,\frac{v_0}{x_e\,\omega}.

Passo 6

Nos instantes em que \dot x=0, chamemos o deslocamento de u_{\max}. Como esses são os pontos extremos, sua magnitude é a amplitude do oscilador:
u_{\max} = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{x_e^2 + \Bigl(\tfrac{v_0}{\omega}\Bigr)^2}.
Logo, as posições extremas são
x = x_e \pm u_{\max} = x_e \pm \sqrt{x_e^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}.

Passo 7

Quando v_0=0, temos
u_{\max} = \sqrt{x_e^2} = x_e \quad\Longrightarrow\quad x = x_e \pm x_e = \{\,0,\;2\,x_e\}.
Isto significa que, largando o bloco em x=0 sem velocidade, ele oscila entre 0 e 2(mg/k).

Resposta

(a) \displaystyle x_e = \frac{m\,g}{k}.
(b) \displaystyle x = x_e \pm \sqrt{x_e^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}}, com \omega=\sqrt{k/m}.
Quando v_0=0, as posições são x=0 e x=2x_e.

Exercícios relacionados