O sistema de frenagem de um trem falha subitamente quando este se encontra a uma velocidade v_{i}. Supondo que há um obstáculo a uma distância d a sua frente, e que a fricção com os trilhos fornece uma força de resistência f(v)=-m\left(\alpha+k v^{2}\right), sendo \alpha e k constantes, determine o valor máximo de v_{i} para o qual o trem deverá parar antes de colidir com o obstáculo.

Passo 1

O enunciado trata de um trem de massa m que, a partir de uma velocidade inicial \,v_{i}, sofre uma força de resistência dependente da velocidade dada por
f(v)=-m\bigl(\alpha + k\,v^{2}\bigr),
com \alpha e k constantes. Queremos achar o maior valor de \,v_{i} tal que o trem pare antes de percorrer a distância d até o obstáculo. O conteúdo necessário é: montar a equação diferencial da dinâmica, usar dx/dv para trocar variáveis e integrar para obter a distância de frenagem.

Passo 2

Começamos pela segunda lei de Newton na direção do movimento. Como f=m\,dv/dt, temos
m\,\frac{dv}{dt} = -m\bigl(\alpha + k\,v^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dt} = -\bigl(\alpha + k\,v^{2}\bigr).

Passo 3

Para relacionar a velocidade à distância, usamos
\frac{dx}{dv} = \frac{dx/dt}{dv/dt} = \frac{v}{-\bigl(\alpha + k\,v^{2}\bigr)}.
A distância de frenagem d é o integral de dx à medida que v vai de v_{i} até zero:
d = \int_{0}^{d}dx = \int_{v_{i}}^{0} \frac{v}{-\bigl(\alpha + k\,v^{2}\bigr)}\,dv = \int_{0}^{v_{i}} \frac{v}{\alpha + k\,v^{2}}\,dv.

Passo 4

Calculamos a integral
\int_{0}^{v_{i}} \frac{v}{\alpha + k\,v^{2}}\,dv.
Fazendo u = \alpha + k\,v^{2}, du = 2k\,v\,dv, obtemos
\int_{0}^{v_{i}} \frac{v}{\alpha + k\,v^{2}}\,dv = \frac{1}{2k}\int_{\alpha}^{\alpha + k\,v_{i}^{2}} \frac{du}{u} = \frac{1}{2k}\ln\!\biggl(\frac{\alpha + k\,v_{i}^{2}}{\alpha}\biggr).
Logo
d = \frac{1}{2k}\ln\!\Bigl(\frac{\alpha + k\,v_{i}^{2}}{\alpha}\Bigr).

Passo 5

Invertendo a relação para achar v_{i}, multiplica-se por 2k e exponentia:
2k\,d = \ln\!\Bigl(\frac{\alpha + k\,v_{i}^{2}}{\alpha}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\alpha + k\,v_{i}^{2}}{\alpha} = e^{2k\,d} \quad\Longrightarrow\quad v_{i}^{2} = \frac{\alpha}{k}\bigl(e^{2k\,d}-1\bigr).
Portanto, o maior valor inicial de velocidade é

Resposta

v_{i,\max} = \sqrt{\frac{\alpha}{k}\Bigl(e^{2k\,d}-1\Bigr)}.

Exercícios relacionados