O sistema de frenagem de um trem falha subitamente quando este se encontra a uma velocidade
. Supondo que há um obstáculo a uma distância
a sua frente, e que a fricção com os trilhos fornece uma força de resistência
, sendo
e
constantes, determine o valor máximo de
para o qual o trem deverá parar antes de colidir com o obstáculo.
Passo 1
O enunciado trata de um trem de massa
que, a partir de uma velocidade inicial
, sofre uma força de resistência dependente da velocidade dada por
com
e
constantes. Queremos achar o maior valor de
tal que o trem pare antes de percorrer a distância
até o obstáculo. O conteúdo necessário é: montar a equação diferencial da dinâmica, usar
para trocar variáveis e integrar para obter a distância de frenagem.
Passo 2
Começamos pela segunda lei de Newton na direção do movimento. Como
, temos
Passo 3
Para relacionar a velocidade à distância, usamos
A distância de frenagem
é o integral de
à medida que
vai de
até zero:
Passo 4
Calculamos a integral
Fazendo
,
, obtemos
Logo
Passo 5
Invertendo a relação para achar
, multiplica-se por
e exponentia:
Portanto, o maior valor inicial de velocidade é