Uma partícula de massa m se move com velocidade v=\alpha / x, onde x é o deslocamento (x \neq 0).
a) Por meio da Segunda Lei de Newton, encontre a força resultante F_{R}(x) correspondente.
b) Supondo que a partícula parte de uma posição x_{0}, determine posição e velocidade como funções do tempo.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m que se move segundo a lei v=\alpha/x.
Conteúdo: Segunda Lei de Newton \bigl(F_{R}=m\,a\bigr) e resolução de ODE por separação de variáveis para dx/dt=\alpha/x.

Passo 2

Vamos achar a aceleração a=d v/dt em função de x usando regra da cadeia:
a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Como v=\alpha\,x^{-1}, temos
\frac{dv}{dx} = -\alpha\,x^{-2}, \qquad \frac{dx}{dt}=v=\alpha\,x^{-1}.
Logo,
a = \bigl(-\alpha\,x^{-2}\bigr)\bigl(\alpha\,x^{-1}\bigr) = -\alpha^2\,x^{-3}.

Passo 3

Pela Segunda Lei de Newton,
F_{R}(x)=m\,a = -m\,\frac{\alpha^2}{x^3}.

Passo 4

Para achar x(t), resolvemos
\frac{dx}{dt} = \frac{\alpha}{x} \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \alpha\,dt.
Integrando de 0 a t e de x_0 a x(t),
\int_{x_0}^{x(t)} x\,dx = \int_{0}^{t} \alpha\,dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{x(t)^2 - x_0^2}{2} = \alpha\,t.
Assim,
x(t)^2 = x_0^2 + 2\,\alpha\,t,
e tomamos a solução com o mesmo sinal de x_0:
x(t) = \sqrt{x_0^2 + 2\,\alpha\,t}.

Passo 5

A velocidade em função do tempo segue de v=\alpha/x:
v(t) = \frac{\alpha}{x(t)} = \frac{\alpha}{\sqrt{x_0^2 + 2\,\alpha\,t}}.

Resposta

\boxed{ \begin{aligned} \text{(a)}\quad &F_{R}(x) = -\frac{m\,\alpha^2}{x^3},\\\ \text{(b)}\quad &x(t) = \sqrt{x_0^2 + 2\,\alpha\,t}, \quad v(t) = \frac{\alpha}{\sqrt{x_0^2 + 2\,\alpha\,t}}. \end{aligned} }

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