A força resultante sobre un sistema é descrita pelo vetor FR=F1-32 F2+2 F3, onde F1=(3,-5,1) N, F2=(6,-10,2) N e F3=(-2,-4,6) N.
Com base nas informaçōes do enunciado, considere as seguintes afirmativas:
I- O módulo do vetor força resultante é 10,2 N.
II - As forças estāo sendo aplicadas em um mesmo plano (vetores coplanares).
III-Os vetores F1 e F2 são paralelos.
É correto o que se afirma em:
A l, ll e III.
B II.
C He III.
D le III.
E lell.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um sistema onde a força resultante é dada por FR = F1 - 32 F2 + 2 F3. As forças são:
  • F1 = (3, -5, 1) , N
  • F2 = (6, -10, 2) , N
  • F3 = (-2, -4, 6) , N
Precisamos verificar três afirmações sobre essa força resultante e as forças envolvidas. Para resolver, vamos usar conceitos de vetores, operações com vetores e verificação de paralelismo e coplanaridade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a força resultante FR. Isso significa que vamos fazer as operações indicadas:
FR = F1 - 32 F2 + 2 F3
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Calculando 32 F2:
32 F2 = 32 times (6, -10, 2) = (9, -15, 3)

Passo 4

Calculando 2 F3:
2 F3 = 2 times (-2, -4, 6) = (-4, -8, 12)

Passo 5

Agora, substituindo na expressão da força resultante:
FR = F1 - 32 F2 + 2 F3 = (3, -5, 1) - (9, -15, 3) + (-4, -8, 12)
Vamos fazer as operações de subtração e adição componente a componente.

Passo 6

Subtraindo F1 - 32 F2:
(3 - 9, -5 - (-15), 1 - 3) = (-6, 10, -2)

Passo 7

Agora, adicionando 2 F3:
(-6 + (-4), 10 + (-8), -2 + 12) = (-10, 2, 10)
Então, a força resultante é FR = (-10, 2, 10) , N.

Passo 8

Vamos verificar a afirmação I: “O módulo do vetor força resultante é 10,2 , N.”
O módulo de um vetor V = (vx, vy, vz) é dado por:
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando para FR = (-10, 2, 10):
|FR| = raiz(-10)^2 + 2^2 + 10^2 = raiz100 + 4 + 100 = raiz204 approx 14,28 , N
Então, a afirmação I está errada.

Passo 9

Vamos para a afirmação II: “As forças estão sendo aplicadas em um mesmo plano (vetores coplanares).”
Vetores são coplanares se existirem na mesma dimensão, no caso de vetores tridimensionais, sempre serão coplanares. Mas como temos vetores no espaço tridimensional, vamos verificar se existe uma combinação linear que faça isso. Na verdade, já que temos três vetores no espaço tridimensional, eles são coplanares se o determinante formado por eles for zero.
Calculando o determinante das componentes das forças F1, F2 e F3:
3 & -5 & 1 6 & -10 & 2 -2 & -4 & 6
Calculando:
3 times (-10 times 6 - 2 times (-4)) - (-5) times (6 times 6 - 2 times (-2)) + 1 times (6 times (-4) - (-10) times (-2))
= 3 times (-60 + 8) - (-5) times (36 + 4) + 1 times (-24 - 20)
= 3 times (-52) + 5 times 40 + 1 times (-44)
= -156 + 200 - 44 = 0
Como o determinante é zero, os vetores são coplanares. Então, a afirmação II está correta.

Passo 10

Por fim, a afirmação III: “Os vetores F1 e F2 são paralelos.”
Para verificar se dois vetores são paralelos, eles devem ser múltiplos um do outro, ou seja, existe um escalar k tal que F1 = k F2.
Vamos ver:
F1 = (3, -5, 1)
F2 = (6, -10, 2)
Observando cada componente:
3 = k times 6 Rightarrow k = 36 = 12
-5 = k times (-10) Rightarrow k = -5-10 = 12
1 = k times 2 Rightarrow k = 12
Como o mesmo k = 12 satisfaz todas as componentes, os vetores são de fato paralelos. Então, a afirmação III está correta.

Resposta

A opção que está correta é a C) I e III.

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