Os pontos A, B e C estão a
,
e
de distância do centro de uma bola de plástico cheia de ar até um raio R e carregada com carga Q. Considerando que o raio da bola dobrou de tamanho, calcule e explique se o módulo dos campos nos pontos
,
e C antes e depois de a esfera dobrar de raio, aumentam, diminuem ou permanecem iguais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão nos pede. Temos uma bola de plástico carregada com uma carga $ Q $ e de raio $ R $. Existem três pontos, A, B e C, localizados a $ 0,8R $, $ 1,2R $ e $ 2,2R $ do centro dessa bola, respectivamente. Inicialmente, a bola tem raio $ R $, e depois o raio dobra, passando para $ 2R $. Precisamos calcular e explicar se o módulo dos campos elétricos nos pontos A, B e C antes e depois da dobra do raio aumentam, diminuem ou permanecem iguais.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos gerados por distribuições de carga esféricas. Precisaremos entender a diferença do campo dentro e fora de uma esfera carregada e como a variação do raio afeta esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma esfera carregada uniformemente:
-
Dentro da esfera ($ r < R $): O campo elétrico aumenta linearmente com a distância ao centro.
-
Fora da esfera ($ r \geq R $): O campo elétrico se comporta como se toda a carga estivesse concentrada no centro, seguindo a lei de Coulomb.
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo e $ r $ é a distância do ponto ao centro da esfera.
Passo 3
Vamos analisar cada ponto antes da dobra do raio.
-
**Ponto A ($ 0,8R
0,8R < R $). Aplicamos a fórmula dentro da esfera: -
**Ponto B ($ 1,2R
1,2R > R $). Aplicamos a fórmula fora da esfera: -
**Ponto C ($ 2,2R
2,2R > R $). Aplicamos a fórmula fora da esfera:
Passo 4
Agora, vamos considerar que o raio da esfera dobra, passando de $ R $ para $ 2R $, mantendo a carga $ Q $ constante. Vamos recalcular os campos nos mesmos pontos:
-
Ponto A ($ 0,8R $): Agora o raio é $ 2R $. A distância do ponto ao centro é $ 0,8R < 2R $, então ainda está dentro da esfera:
-
Ponto B ($ 1,2R $): Agora a distância é $ 1,2R < 2R $, então está dentro da esfera:
-
Ponto C ($ 2,2R $): A distância é $ 2,2R > 2R $, então está fora da esfera:
Passo 5
Vamos comparar os campos antes e depois da dobra do raio:
-
Ponto A:
- Antes: $ E_A = \frac{0,8Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- Depois: $ E’_A = \frac{0,1Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- O campo diminuiu.
-
Ponto B:
- Antes: $ E_B \approx \frac{0,694Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- Depois: $ E’_B = \frac{0,15Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- O campo diminuiu.
-
Ponto C:
- Antes: $ E_C \approx \frac{0,206Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- Depois: $ E’_C \approx \frac{0,206Q}{4\pi \varepsilon_0 R^2} $
- O campo permaneceu igual.
Resposta
Após dobrar o raio da esfera:
- O campo no ponto A diminuiu.
- O campo no ponto B diminuiu.
- O campo no ponto C permaneceu igual.