- Uma pessoa atira uma pedra com um ângulo inicial de
a partir da horizontal com uma velocidade inicial de
. O ponto de lançamento da pedra está a uma altura
acima do solo. Você pode desprezar a resistência do ar.
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto de sua trajetória?
(b) Qual foi o deslocamento vertical máximo da pedra? Ignore a resistência do ar.
Solução Se
é o vetor posição da pedra, a posição inicial é
, o vetor velocidade inicial é
, então a trajetoria da pedra é:
O vetor velocidade é
(a) Se
é o instante em que a pedra atinge sua posição máxima vertical (
), o ponto mais alto do voo. Então em
o vetor velocidade é paralelo ao eixo
:
, su segunda componente se anula
(b)
acontece em
:
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto de sua trajetória?
(b) Qual foi o deslocamento vertical máximo da pedra? Ignore a resistência do ar.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e perguntas:
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial
. - Ângulo inicial
medido a partir da horizontal. - Altura inicial (ponto de lançamento)
acima do solo. - Aceleração da gravidade
(despreza-se resistência do ar).
- Velocidade inicial
- Perguntas:
(a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto da trajetória?
(b) Qual é o deslocamento vertical máximo da pedra (isto é, a altura máxima relativa ao solo)?
Passo 2
Vamos escolher um sistema de coordenadas padrão e definir variáveis claras:
- Eixo
: horizontal, positivo para a frente. - Eixo
: vertical, positivo para cima. - Posição inicial:
. - Velocidade inicial:
.
Aquié a componente horizontal da velocidade inicial e é a componente vertical. - Importante: movimento em
e são independentes (quando desprezamos resistência do ar); a única aceleração é a vertical .
Passo 3
Como decompor a velocidade inicial em componentes:
- Fórmula de decomposição: dado um vetor de módulo
e ângulo acima da horizontal, Aqui e são as funções trigonométricas do ângulo . - Para
temos . Então
Numericamente
.
Passo 4
Escrever as equações do movimento no eixo vertical e explicar cada termo:
- Equação da velocidade vertical em função do tempo:
Aqui é a velocidade vertical inicial e a subtração vem da aceleração (para cima é positivo). - Equação da posição vertical em função do tempo:
Aqui é a altura inicial ( ), é o termo que vem da velocidade inicial e é o deslocamento devido à aceleração da gravidade.
Vou usar essas duas equações para encontrar o tempo de ápice e a altura máxima.
Passo 5
Encontrar o tempo
em que a pedra atinge o ponto mais alto:
- No ponto mais alto a velocidade vertical se anula, ou seja
. - Usando
e impondo : - Substituindo
e :
Passo 6
Calcular numericamente o tempo até o topo:
- Primeiro calcule
. Sabemos , então - Agora divida por
: - Arredondando para duas casas decimais (comum em física experimental),
.
Passo 7
Encontrar a altura máxima
:
Método direto usando
: calcular
. Vou também mostrar uma fórmula alternativa útil que evita calcular
numericamente:
- Fórmula alternativa (cinemática sem tempo): variação vertical até o topo
satisfaz No topo , então Aqui é o ganho de altura a partir da altura inicial até o ápice. - Portanto a altura máxima em relação ao solo é
Passo 8
Calcular numericamente a altura máxima:
- Já vimos que
. Então - Portanto
- A altura máxima é
- Arredondando para duas casas decimais,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)