1. Uma pessoa atira uma pedra com um ângulo inicial de \theta=45^{0} a partir da horizontal com uma velocidade inicial de v_{0}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{seg}. O ponto de lançamento da pedra está a uma altura d=2 m acima do solo. Você pode desprezar a resistência do ar.
    (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto de sua trajetória?
    (b) Qual foi o deslocamento vertical máximo da pedra? Ignore a resistência do ar.
Solução Se \mathbf{R}(t)=(x(t), y(t)) é o vetor posição da pedra, a posição inicial é \mathbf{R}(0)=(0,2), o vetor velocidade inicial é \mathbf{V}(0)=\left(20 \cos 45^{0}, 20 \sin 45^{0}\right), então a trajetoria da pedra é:
\mathbf{R}(t)=\left(\left(20 \cos 45^{0}\right) t, d+\left(20 \sin 45^{0}\right) t-\frac{g}{2} t^{2}\right)
O vetor velocidade é
\mathbf{V}(t)=\mathbf{R}^{\'}(t)=\left(x^{\'}(t), y^{\'}(t)\right)=\left(\left(20 \cos 45^{0}\right),\left(20 \sin 45^{0}\right)-g t\right)
(a) Se t=\tau é o instante em que a pedra atinge sua posição máxima vertical ( y_{\{\text {max }\}} ), o ponto mais alto do voo. Então em t=\tau o vetor velocidade é paralelo ao eixo x : \mathbf{V}(\tau)=\left(20 \cos 45^{\circ}, 0\right), su segunda componente se anula
y^{\prime}(\tau)=20 \sin 45^{0}-g \tau=0 \Rightarrow \tau=\frac{20}{9.8} \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{10 \sqrt{2}}{9.8}=1.44 \mathrm{seg}
(b) \mathrm{O} y_{\{\text {max }\}} acontece em t=\tau=1.44 :
\begin{aligned} y(\tau) & =2+\left(20 \sin 45^{0}\right) \tau-\frac{g}{2} \tau^{2} \\\ y(1.44) & =2+20 \frac{\sqrt{2}}{2}(1.44)-\frac{9.8}{2}(1.44)^{2}=12.2 m \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial v_{0}=20\\ \mathrm{m/s}.
    • Ângulo inicial \theta=45^\circ medido a partir da horizontal.
    • Altura inicial (ponto de lançamento) d=2\\ \mathrm{m} acima do solo.
    • Aceleração da gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}} (despreza-se resistência do ar).
  • Perguntas:
    (a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o ponto mais alto da trajetória?
    (b) Qual é o deslocamento vertical máximo da pedra (isto é, a altura máxima relativa ao solo)?

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas padrão e definir variáveis claras:
  • Eixo x: horizontal, positivo para a frente.
  • Eixo y: vertical, positivo para cima.
  • Posição inicial: \mathbf{R}(0)=(0,d)=(0,2).
  • Velocidade inicial: \mathbf{V}(0)=\left(v_{0x},v_{0y}\right).
    Aqui v_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial e v_{0y} é a componente vertical.
  • Importante: movimento em x e y são independentes (quando desprezamos resistência do ar); a única aceleração é a vertical (0,-g).

Passo 3

Como decompor a velocidade inicial em componentes:
  • Fórmula de decomposição: dado um vetor de módulo v_{0} e ângulo \theta acima da horizontal, v_{0x}=v_{0}\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta.Aqui \cos\theta e \sin\theta são as funções trigonométricas do ângulo \theta.
  • Para \theta=45^\circ temos \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então v_{0x}=20\cos45^\circ=20\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2},
v_{0y}=20\sin45^\circ=20\frac{\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}.
Numericamente 10\sqrt{2}\approx 14{,}142\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Escrever as equações do movimento no eixo vertical e explicar cada termo:
  • Equação da velocidade vertical em função do tempo: v_{y}(t)=v_{0y}-g t.Aqui v_{0y} é a velocidade vertical inicial e a subtração vem da aceleração -g (para cima é positivo).
  • Equação da posição vertical em função do tempo: y(t)=d+v_{0y}t-\frac{1}{2}g t^{2}.Aqui d é a altura inicial ( 2\\ \mathrm{m}), v_{0y}t é o termo que vem da velocidade inicial e -\tfrac{1}{2}gt^{2} é o deslocamento devido à aceleração da gravidade.
Vou usar essas duas equações para encontrar o tempo de ápice e a altura máxima.

Passo 5

Encontrar o tempo \tau em que a pedra atinge o ponto mais alto:
  • No ponto mais alto a velocidade vertical se anula, ou seja v_{y}(\tau)=0.
  • Usando v_{y}(t)=v_{0y}-g t e impondo v_{y}(\tau)=0: 0=v_{0y}-g\tau \quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{v_{0y}}{g}.
  • Substituindo v_{0y}=10\sqrt{2} e g=9{,}8: \tau=\frac{10\sqrt{2}}{9{,}8}.

Passo 6

Calcular numericamente o tempo até o topo:
  • Primeiro calcule 10\sqrt{2}. Sabemos \sqrt{2}\approx1{,}41421356, então 10\sqrt{2}\approx 14{,}1421356\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora divida por g: \tau\approx\frac{14{,}1421356}{9{,}8}\approx 1{,}44266\\ \mathrm{s}.
  • Arredondando para duas casas decimais (comum em física experimental), \tau\approx 1{,}44\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Encontrar a altura máxima y_{\text{max}}:
Método direto usando y(t): calcular y(\tau)=d+v_{0y}\tau-\tfrac{1}{2}g\tau^{2}. Vou também mostrar uma fórmula alternativa útil que evita calcular \tau numericamente:
  • Fórmula alternativa (cinemática sem tempo): variação vertical até o topo \Delta y satisfaz v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}-2g\Delta y.No topo v_{y}=0, então 0=v_{0y}^{2}-2g\Delta y \quad\Rightarrow\quad \Delta y=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.Aqui \Delta y é o ganho de altura a partir da altura inicial d até o ápice.
  • Portanto a altura máxima em relação ao solo é y_{\text{max}}=d+\Delta y=d+\frac{v_{0y}^{2}}{2g}.

Passo 8

Calcular numericamente a altura máxima:
  • Já vimos que v_{0y}=10\sqrt{2}. Então v_{0y}^{2}=(10\sqrt{2})^{2}=100\cdot 2=200\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
  • Portanto \Delta y=\frac{v_{0y}^{2}}{2g}=\frac{200}{2\cdot 9{,}8}=\frac{200}{19{,}6}=10{,}20408163\\ \mathrm{m}.
  • A altura máxima é y_{\text{max}}=d+\Delta y=2+10{,}20408163=12{,}20408163\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando para duas casas decimais, y_{\text{max}}\approx 12{,}20\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \tau=1{,}44\\ \mathrm{s}
(b) y_{\text{max}}=12{,}20\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados