Use a proposição do Problema 30 para mostrar que, se f e g forem analíticas e f^prime(z)=g^prime(z), então f(z)=g(z)+c, onde c é uma constante. [Sugestão: forme h(z)=f(z)-g(z).]

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que, em um domínio conexo, se f e g são funções analíticas e satisfazem
f'(z)=g'(z)para todo z,
então existe uma constante c tal que
f(z)=g(z)+c
O conteúdo principal é usar a proposição do Problema 30, que afirma que uma função analítica cuja derivada é identicamente zero é constante.

Passo 2

Definimos a função
h(z)=f(z)-g(z)
Como f e g são analíticas, sua diferença h também é analítica em todo o domínio considerado.

Passo 3

Calculamos a derivada de h:
h'(z)=f'(z)-g'(z)
Pelo enunciado, f'(z)=g'(z). Logo
h'(z)=0para todo z

Passo 4

Pela proposição do Problema 30, uma função analítica cuja derivada é zero em um domínio conexo é constante. Então h é constante, digamos h(z)=c.

Resposta

Da definição de h segue
f(z)-g(z)=c,
isto é,
f(z)=g(z)+c,
onde c é uma constante.

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