Use a proposição do Problema 30 para mostrar que, se
e
forem analíticas e
, então
, onde
é uma constante. [Sugestão: forme
.]
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, em um domínio conexo, se
e
são funções analíticas e satisfazem
então existe uma constante
tal que
O conteúdo principal é usar a proposição do Problema 30, que afirma que uma função analítica cuja derivada é identicamente zero é constante.
Passo 2
Definimos a função
Como
e
são analíticas, sua diferença
também é analítica em todo o domínio considerado.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Pelo enunciado,
. Logo
Passo 4
Pela proposição do Problema 30, uma função analítica cuja derivada é zero em um domínio conexo é constante. Então
é constante, digamos
.
Resposta
Da definição de
segue
isto é,
onde
é uma constante.