Use as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que se
for analítica em um domínio
e se
for uma constante, então
deve ser uma função linear complexa em todos os pontos em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é analítica em um domínio
e sua derivada
é uma constante, então
é da forma linear complexa em todo
. O que vamos usar é a representação
e as equações de Cauchy–Riemann, que valem sempre que
é analítica.
Passo 2
Como
é diferenciável em
e
é constante, digamos
com
. Por definição de derivada em termos de
e
, temos
Além disso, as equações de Cauchy–Riemann dizem:
Passo 3
Substituindo
e
nas equações de Cauchy–Riemann, obtemos
Logo todas as derivadas parciais de
e
são constantes.
Passo 4
Para encontrar
basta integrar
Isto dá
onde
é constante de integração. De modo análogo, integrando
vemos
com
constante.
Passo 5
Reunindo em
, fica
Ou seja, escrevendo
e
,
Isso mostra que
é uma função linear complexa em todo
.
Resposta
A função
tem a forma
onde
é constante e
também é constante.