Use as equações de Cauchy-Riemann para mostrar que se f for analítica em um domínio D e se f^prime(z) for uma constante, então f(z) deve ser uma função linear complexa em todos os pontos em D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é analítica em um domínio D e sua derivada f'(z) é uma constante, então f(z) é da forma linear complexa em todo D. O que vamos usar é a representação
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
e as equações de Cauchy–Riemann, que valem sempre que f é analítica.

Passo 2

Como f é diferenciável em D e f'(z) é constante, digamos
f'(z)=A+iB,
com A,BinR. Por definição de derivada em termos de u e v, temos
partial upartial x=A, partial vpartial x=B
Além disso, as equações de Cauchy–Riemann dizem:
partial upartial x=partial vpartial y, partial upartial y=-partial vpartial x

Passo 3

Substituindo partial u/partial x=A e partial v/partial x=B nas equações de Cauchy–Riemann, obtemos
partial vpartial y=A, partial upartial y=-B
Logo todas as derivadas parciais de u e v são constantes.

Passo 4

Para encontrar u basta integrar
partial upartial x=A, partial upartial y=-B
Isto dá
u(x,y)=A,x - B,y + C1,
onde C1 é constante de integração. De modo análogo, integrando
partial vpartial x=B, partial vpartial y=A
vemos
v(x,y)=B,x + A,y + C2,
com C2 constante.

Passo 5

Reunindo em f(z)=u+iv, fica
f(z) =(A,x - B,y + C1) + i,(B,x + A,y + C2) =(A+iB)(x+iy) + (C1+iC2)
Ou seja, escrevendo z=x+iy e C=C1+iC2,
f(z)=(A+iB),z+C
Isso mostra que f é uma função linear complexa em todo D.

Resposta

A função f tem a forma
f(z)=c,z + d,
onde c=f'(z) é constante e d também é constante.

Exercícios relacionados