Sejam os vetores
e
. Mostre que:
[Dica: use a Desigualdade Triangular]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o módulo da soma de dois vetores,
e
, é menor ou igual a 2. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, e para resolver isso, vamos usar a Desigualdade Triangular. Então, vamos passo a passo entender como chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como somar esses vetores
e
. Cada vetor tem duas componentes:
Para somar os vetores, somamos componente a componente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o módulo (ou comprimento) desse vetor resultante
. O módulo de um vetor
é dado por:
Mas calcular isso diretamente pode ser meio complicado, então vamos usar a Desigualdade Triangular para simplificar.
Passo 4
A Desigualdade Triangular diz que para quaisquer dois vetores
e
:
Ou seja, o módulo da soma dos vetores é sempre menor ou igual à soma dos módulos dos vetores individuais. Isso nos ajuda a evitar o cálculo complicado do módulo da soma.
Passo 5
Vamos calcular os módulos dos vetores
e
. Para qualquer vetor
, o módulo é:
Isso porque
para qualquer ângulo
.
Passo 6
Agora que sabemos que
e
, vamos somar esses módulos:
Resposta
Portanto, pela Desigualdade Triangular, temos que: