Sejam os vetores A=(cos alpha, sen alpha) e B=(cos beta, sen beta). Mostre que: |A+B| <= 2 [Dica: use a Desigualdade Triangular]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o módulo da soma de dois vetores, A e B, é menor ou igual a 2. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, e para resolver isso, vamos usar a Desigualdade Triangular. Então, vamos passo a passo entender como chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como somar esses vetores A e B. Cada vetor tem duas componentes:
A = (cos alpha, sin alpha) B = (cos beta, sin beta)
Para somar os vetores, somamos componente a componente:
A + B = (cos alpha + cos beta, sin alpha + sin beta)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o módulo (ou comprimento) desse vetor resultante A + B. O módulo de um vetor (x, y) é dado por:
|A + B| = raiz(cos alpha + cos beta)^2 + (sin alpha + sin beta)^2
Mas calcular isso diretamente pode ser meio complicado, então vamos usar a Desigualdade Triangular para simplificar.

Passo 4

A Desigualdade Triangular diz que para quaisquer dois vetores A e B:
|A + B| <= |A| + |B|
Ou seja, o módulo da soma dos vetores é sempre menor ou igual à soma dos módulos dos vetores individuais. Isso nos ajuda a evitar o cálculo complicado do módulo da soma.

Passo 5

Vamos calcular os módulos dos vetores A e B. Para qualquer vetor (x, y), o módulo é:
|A| = raiz(cos alpha)^2 + (sin alpha)^2 = raizcos^2 alpha + sin^2 alpha = raiz1 = 1 |B| = raiz(cos beta)^2 + (sin beta)^2 = raizcos^2 beta + sin^2 beta = raiz1 = 1
Isso porque cos^2 theta + sin^2 theta = 1 para qualquer ângulo theta.

Passo 6

Agora que sabemos que |A| = 1 e |B| = 1, vamos somar esses módulos:
|A| + |B| = 1 + 1 = 2

Resposta

Portanto, pela Desigualdade Triangular, temos que:
|A + B| <= 2

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