Seja \varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} a forma quadratica dada por \varphi(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2 x y-3 x z+y z. Qual é matriz de \varphi na base \{u, v, w\} \subset \mathbb{R}^{3}, onde u=(3,0,1), v=(1,-1,2) e w=(2,1,2) ?
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} definida por
\varphi(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}+2xy-3xz+yz
e nos pede a matriz de \varphi na base B=\{u,v,w\}, onde
u=(3,0,1),\quad v=(1,-1,2),\quad w=(2,1,2).
Para resolver, vamos (1) achar a matriz simétrica A de \varphi na base canônica e (2) calcular a matriz na base B via