Uma forma bilinear f sobre \mathbf{R}^{3} esta caracterizada pela matriz A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right].
  • Obter f(u, v)
  • Determinar a matriz de f com respeito da base \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}

Passo 1

O enunciado dá uma forma bilinear f\colon \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} cuja matriz na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Pede-se:
  1. Expressar f(u,v) em termos das componentes de u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3).
  2. Determinar a matriz de f na base \mathcal{B}=\{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}.

Passo 2

Para qualquer u,v\in\mathbb{R}^3, a forma bilinear associa
f(u,v)=u^{T}A\,v.
Se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então multiplicando em componentes obtemos
f(u,v) =u_1\bigl(1\cdot v_1+2\cdot v_2-1\cdot v_3\bigr) +u_2\bigl(1\cdot v_1+0\cdot v_2-2\cdot v_3\bigr) +u_3\bigl(0\cdot v_1+1\cdot v_2+1\cdot v_3\bigr).
Logo,
\boxed{ f(u,v) =u_1v_1+2u_1v_2-u_1v_3 +u_2v_1-2u_2v_3 +u_3v_2+u_3v_3. }

Passo 3

Para achar a matriz de f na base \mathcal{B}=\{b_1,b_2,b_3\} com
b_1=(1,1,1),\quad b_2=(1,1,0),\quad b_3=(1,0,0),
montamos a matriz de transição P cujas colunas são b_1,b_2,b_3 em coordenadas canônicas:
P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A regra de mudança de base para formas bilineares diz que, na nova base, a matriz é
A_{\mathcal{B}}=P^{T}\,A\,P.

Passo 4

Como P é simétrica P^T=P, basta calcular primeiro A\,P.
A\,P =\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora multiplicamos P^T por esse resultado:
A_{\mathcal{B}} =P\,\bigl(A\,P\bigr) =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ -1 & 1 & 1\\\\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\\\ 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) f(u,v)=u_1v_1+2u_1v_2-u_1v_3+u_2v_1-2u_2v_3+u_3v_2+u_3v_3.
(b) Na base \{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)\}, a matriz de f é
\begin{pmatrix} 3 & 5 & 2\\\\ 1 & 4 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.

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