3^{\underline{a}} Questão Considere o sistema linear A \mathbf{X}=\mathbf{b}, onde A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ -1 & 1 & 2 & 3\end{array}\right] e \mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ -4 \\\\ -6\end{array}\right].
(a) (0.5 pts) Mostre que as três primeiras colunas \mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \mathbf{c}_{3} de A formam uma base para o espaço de colunas \mathscr{C}(A).
(b) (1.0 pt) Encontre uma base para o complemento ortogonal \mathscr{C}(A)^{\perp}.
(c) (1.0 pt) Encontre o vetor \mathbf{b}_{0} de \mathscr{C}(A) que está mais próximo do vetor \mathbf{b}. Com base exclusivamente no seu cálculo de \mathbf{b}_{0}, decida se o sistema linear A \mathbf{X}=\mathbf{b} possui solução.
(d) ( 0.8 pts) Determine os vetores \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{4} que tornam mínima a distância \|A \mathbf{x}-\mathbf{b}\|.
(e) ( 0.7 pts ) Dentre todos os vetores \mathbf{x} encontrados em (d), determine aquele que minimiza \|\mathrm{x}\|.

Passo 1

O enunciado trata de resolver vários itens sobre o sistema linear
A\mathbf X=\mathbf b,
onde
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 0 & 0 & 0\\\\ -1& 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf b=\begin{pmatrix}3\\\ -3\\\ 3\\\ -4\\\ -6\end{pmatrix}.
Os itens são:
(a) mostrar que as colunas \mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3 formam base de \mathscr C(A);
(b) achar uma base de \mathscr C(A)^\perp;
(c) projetar \mathbf b sobre \mathscr C(A) e decidir se A\mathbf X=\mathbf b tem solução;
(d) encontrar todos os \mathbf x que minimizam \|A\mathbf x-\mathbf b\|;
(e) dentre esses, achar o que minimiza \|\mathbf x\|.

Passo 2

(a) Primeiro vemos que \mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3 são independentes porque a submatriz 3\times 3 das três primeiras linhas
\begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 0&1&3\\\\ 1&1&1 \end{pmatrix}
tem determinante -3\neq0. Além disso, a quarta coluna \mathbf c_4 é combinação linear delas, pois resolvendo
\mathbf c_4=\alpha\mathbf c_1+\beta\mathbf c_2+\gamma\mathbf c_3
pelas linhas 4 e 5 obtemos \alpha=0,\;\beta=1,\;\gamma=1. Logo \mathbf c_4=\mathbf c_2+\mathbf c_3 e \mathscr C(A)=\mathrm{span}\{\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3\}.

Passo 3

(b) Para achar \mathscr C(A)^\perp\) resolvemos \[A^T\mathbf y=\mathbf0.
Isso dá o sistema
\begin{cases} y_1+y_3+y_4-y_5=0,\\\ y_2+y_3+y_5=0,\\\ y_1+3y_2+y_3+2y_5=0,\\\ y_1+4y_2+2y_3+3y_5=0. \end{cases}
Parametrizando por y_4=s,\;y_5=t\], obtemos \[\mathbf y=\begin{pmatrix} t-\tfrac23s\\\ \tfrac13s-t\\\\ -\tfrac13s\\\ s\\\ t \end{pmatrix} \;=\;t\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} \;+\;s\begin{pmatrix}-\tfrac23\\tfrac13\\\ -\tfrac13\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.\] Multiplicando o segundo vetor por 3, uma base inteira de \(\mathscr C(A)^\perp é
\Bigl\{(1,-1,0,0,1),\;(-2,1,-1,3,0)\Bigr\}.

Passo 4

(c) A projeção de \mathbf b em \mathscr C(A)=\mathrm{span}\{\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3\} é \mathbf b_0=B\boldsymbol\alpha, onde B=[\mathbf c_1\,\mathbf c_2\,\mathbf c_3] e \boldsymbol\alpha vem das equações normais
B^T B\,\boldsymbol\alpha = B^T\mathbf b.
Calculando, achamos \boldsymbol\alpha=(2,0,-1) e então
\mathbf b_0=2\mathbf c_1-\mathbf c_3 =\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 1\\\ 2\\\ -4\end{pmatrix}.
Como \mathbf b_0\neq\mathbf b, conclui-se que \mathbf b\notin\mathscr C(A) e, portanto, o sistema A\mathbf X=\mathbf b não tem solução exata.

Passo 5

(d) Os mínimos quadrados são as soluções do sistema normal completo
A^TA\,\mathbf x=A^T\mathbf b.
Resolvendo, obtemos
x_1=2,\quad x_2=1+t,\quad x_3=t,\quad x_4=-1-t,\qquad t\in\mathbb R.
Logo todos os \mathbf x que minimizam \|A\mathbf x-\mathbf b\| são
(2,\;1+t,\;t,\;-1-t),\quad t\in\mathbb R.

Passo 6

(e) Para minimizar \|\mathbf x\|^2=4+(1+t)^2+t^2+(-1-t)^2=6+4t+3t^2 derivamos em t e igualamos a zero, obtendo t=-\tfrac23. Assim o vetor de norma mínima é
\mathbf x_{\min} =\Bigl(2,\;1-\tfrac23,\;-\tfrac23,\;-1+\tfrac23\Bigr) =\Bigl(2,\;\tfrac13,\;-\tfrac23,\;-\tfrac13\Bigr).

Resposta

(a) \{\mathbf c_1,\mathbf c_2,\mathbf c_3\}.
(b) \{(1,-1,0,0,1),\,(-2,1,-1,3,0)\}.
(c) \mathbf b_0=(1,-3,1,2,-4)^T. O sistema não tem solução.
(d) \mathbf x=(2,1+t,t,-1-t), t\in\mathbb R.
(e) \mathbf x=(2,\tfrac13,-\tfrac23,-\tfrac13).

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