2^{\underline{a}} Questão Seja \operatorname{Ref}_{\pi}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador de reflexão em torno do plano \pi de equação -x+y-z=0.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base \beta do \mathbb{R}^{3} tal que \left[\operatorname{Ref}_{\pi}\right]_{\beta}^{\beta}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].
(b) (0.5 pts) Sejam \alpha a base canônica do \mathbb{R}^{3} e \beta a base encontrada em (a). Calcule a matriz [\mathbf{I}]_{\beta}^{\alpha}.
(c) (0.5 pts) Sendo ainda \alpha a base canônica de \mathbb{R}^{3}, calcule a matriz \left[\operatorname{Ref}_{\pi}\right]_{\alpha}^{\alpha}.
Passo 1
O enunciado define o operador \operatorname{Ref}_{\pi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que reflete vetores em torno do plano
\pi:\,-x+y-z=0.
Precisamos de três itens:
– (a) uma base \beta em que a matriz de \operatorname{Ref}_{\pi} seja
– (b) a matriz de mudança de base [\mathbf I]_{\beta}^{\alpha} da base \beta para a base canônica \alpha.
– (c) a matriz de \operatorname{Ref}_{\pi} na base canônica \alpha.
Passo 2
Para (a), note que a reflexão deixa inalterados os vetores que estão no plano \pi (autovalor +1) e inverte o vetor normal ao plano (autovalor -1).
Uma normal de \pi é
n = (-1,1,-1),
e dois vetores que geram \pi são, por exemplo, as soluções de -x+y-z=0 com parâmetros:
vemos que \operatorname{Ref}_{\pi}(u_1)=u_1, \operatorname{Ref}_{\pi}(n)=-n, \operatorname{Ref}_{\pi}(u_3)=u_3,
de modo que \bigl[\operatorname{Ref}_{\pi}\bigr]_{\beta}^{\beta}
=\mathrm{diag}(1,-1,1).
Passo 3
Para (b), a matriz de identidade escrita da base \beta para a base canônica \alpha tem colunas as coordenadas dos vetores de \beta em \alpha. Logo,