2^{\underline{a}} Questão Seja \operatorname{Ref}_{\pi}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} o operador de reflexão em torno do plano \pi de equação -x+y-z=0.
(a) (1.0 pt) Encontre uma base \beta do \mathbb{R}^{3} tal que \left[\operatorname{Ref}_{\pi}\right]_{\beta}^{\beta}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right].
(b) (0.5 pts) Sejam \alpha a base canônica do \mathbb{R}^{3} e \beta a base encontrada em (a). Calcule a matriz [\mathbf{I}]_{\beta}^{\alpha}.
(c) (0.5 pts) Sendo ainda \alpha a base canônica de \mathbb{R}^{3}, calcule a matriz \left[\operatorname{Ref}_{\pi}\right]_{\alpha}^{\alpha}.

Passo 1

O enunciado define o operador \operatorname{Ref}_{\pi}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
que reflete vetores em torno do plano
\pi:\,-x+y-z=0.
Precisamos de três itens:
– (a) uma base \beta em que a matriz de \operatorname{Ref}_{\pi} seja
\begin{pmatrix} 1&0&0\\\\ 0&-1&0\\\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.
– (b) a matriz de mudança de base [\mathbf I]_{\beta}^{\alpha} da base \beta para a base canônica \alpha.
– (c) a matriz de \operatorname{Ref}_{\pi} na base canônica \alpha.

Passo 2

Para (a), note que a reflexão deixa inalterados os vetores que estão no plano \pi (autovalor +1) e inverte o vetor normal ao plano (autovalor -1).
Uma normal de \pi é
n = (-1,1,-1),
e dois vetores que geram \pi são, por exemplo, as soluções de -x+y-z=0 com parâmetros:
u_1=(1,1,0), \quad u_3=(0,1,1).
Tomando
\beta=\{\,u_1,\;n,\;u_3\} =\{(1,1,0),\,(-1,1,-1),\,(0,1,1)\},
vemos que \operatorname{Ref}_{\pi}(u_1)=u_1, \operatorname{Ref}_{\pi}(n)=-n, \operatorname{Ref}_{\pi}(u_3)=u_3,
de modo que \bigl[\operatorname{Ref}_{\pi}\bigr]_{\beta}^{\beta} =\mathrm{diag}(1,-1,1).

Passo 3

Para (b), a matriz de identidade escrita da base \beta para a base canônica \alpha tem colunas as coordenadas dos vetores de \beta em \alpha. Logo,
[\mathbf I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & \;\;1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},
pois as colunas são (1,1,0), (-1,1,-1) e (0,1,1).

Passo 4

Para (c), usamos a fórmula da reflexão em torno de um plano com vetor normal n:
M \;=\; I \;-\;2\,\frac{n\,n^{T}}{n^{T}n} \quad\text{com}\quad n^{T}n=3.
Assim
M =I-\frac{2}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ -1& 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\tfrac23 & 0+\tfrac23 & 0-\tfrac23\\[6pt] 0+\tfrac23 & 1-\tfrac23 & 0+\tfrac23\\[6pt] 0-\tfrac23 & 0+\tfrac23 & 1-\tfrac23 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac23\\[3pt] \tfrac23 & \tfrac13 & \tfrac23\\[3pt] -\tfrac23 & \tfrac23 & \tfrac13 \end{pmatrix}.
Esta é exatamente \bigl[\operatorname{Ref}_{\pi}\bigr]_{\alpha}^{\alpha}.]

Resposta

(a) \displaystyle \beta=\{(1,1,0),\,(-1,1,-1),\,(0,1,1)\}.
(b) \displaystyle [\mathbf I]_{\beta}^{\alpha} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
(c) \displaystyle \bigl[\operatorname{Ref}_{\pi}\bigr]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix} \tfrac13 & \tfrac23 & -\tfrac23\\[3pt] \tfrac23 & \tfrac13 & \tfrac23\\[3pt] -\tfrac23 & \tfrac23 & \tfrac13 \end{pmatrix}.]

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