Seja A\left((x, y),\left(x_{1}, y_{1}\right)\right)=3 x x_{1}+y y_{1}. Ache a forma quadrática Q: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} associada a A.

Passo 1

O enunciado fornece a forma bilinear
A\bigl((x,y),(x_{1},y_{1})\bigr)=3\,x\,x_{1}+y\,y_{1}
em \mathbb{R}^{2} e pede a forma quadrática Q:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} associada. Lembrando que, para uma forma bilinear simétrica A, a forma quadrática associada é dada por
Q(v)=A(v,v).

Passo 2

Tomando v=(x,y), aplicamos a definição de forma quadrática associada:
Q(x,y)=A\bigl((x,y),(x,y)\bigr).

Passo 3

Basta substituir na expressão de A:
Q(x,y)=3\,x\cdot x + y\cdot y = 3x^{2}+y^{2}.

Resposta

Q(x,y)=3x^{2}+y^{2}.

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