Verificar se a equação é homogênea, caso seja, resolver.
y-x y^{\prime}=x+y y^{\prime}, \quad obs. \int \frac{d t}{1+t^{2}}=\operatorname{arctag}(t)+C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y - x\,y' = x + y\,y'
e pede para verificar se é homogênea e, sendo, resolvê-la.
O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, que se resolvem pela substituição
y = x\,t(x),
onde t=y/x.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita para y':
y - x\,y' = x + y\,y' \quad\Longrightarrow\quad y - x = y'\,(x + y) \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{y - x}{x + y}.
Note que
\frac{y - x}{x + y} = \frac{x\bigl(\tfrac{y}{x}-1\bigr)}{x\bigl(1+\tfrac{y}{x}\bigr)} = \frac{t-1}{1+t},
ou seja, y'/1 = f(t) depende apenas de t=y/x, logo é homogênea.

Passo 3

Fazendo a substituição y = x\,t, temos
\frac{dy}{dx} = t + x\,\frac{dt}{dx}.
Como y'=(t-1)/(1+t), substituímos:
t + x\,\frac{dt}{dx} = \frac{t-1}{1+t} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dt}{dx} = \frac{t-1}{1+t} - t = -\frac{1+t^2}{1+t}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{1+t}{1+t^2}\,dt = -\frac{dx}{x}.
Integramos os dois lados, lembrando que \displaystyle \int\frac{dt}{1+t^2}=\operatorname{arctan}(t)+C e \displaystyle \int\frac{t\,dt}{1+t^2}=\tfrac12\ln(1+t^2):
\int\frac{1+t}{1+t^2}\,dt = \operatorname{arctan}(t) + \frac12\ln\bigl(1+t^2\bigr) = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando a t=y/x,
\operatorname{arctan}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + \frac12\ln\!\Bigl(1+\frac{y^2}{x^2}\Bigr) = -\ln\lvert x\rvert + C.
Note que
\ln\!\Bigl(1+\frac{y^2}{x^2}\Bigr) = \ln\!\bigl(x^2+y^2\bigr)-2\ln\lvert x\rvert,
então
\operatorname{arctan}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + \frac12\bigl[\ln(x^2+y^2)-2\ln\lvert x\rvert\bigr] = -\ln\lvert x\rvert + C
simplifica para
\operatorname{arctan}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + \frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) = C',
onde C' é nova constante.

Resposta

\boxed{\\ \operatorname{arctan}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) + \frac12\ln\bigl(x^2+y^2\bigr) = C\\ }.

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