O volume do elipsóide de equação x^{2}+3 y^{2}+11 z^{2}=3 é
a \frac{4 \pi \sqrt{3}}{\sqrt{31}}
b \frac{\pi \sqrt{2}}{\sqrt{37}}
c \frac{\pi \sqrt{3}}{\sqrt{33}}
(d) \frac{4 \pi \sqrt{3}}{\sqrt{33}}
e \frac{4 \pi \sqrt{2}}{\sqrt{29}}

Passo 1

O enunciado pede o volume do elipsóide dado por
x^{2} + 3y^{2} + 11z^{2} = 3
Esse é um problema de geometria analítica de quádricas. Para resolver, vamos colocar a equação na forma padrão de elipsóide
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1
e depois usar a fórmula do volume
V = \frac{4}{3}\pi\,a\,b\,c.

Passo 2

Dividindo ambos os lados da equação original por 3, obtemos
\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{1} + \frac{z^{2}}{3/11} = 1.
Daí identificamos os semieixos:
a = \sqrt{3},\quad b = 1,\quad c = \sqrt{\frac{3}{11}}.

Passo 3

Substituindo na fórmula do volume do elipsóide, temos
V = \frac{4}{3}\pi \,a\,b\,c = \frac{4}{3}\pi \,\sqrt{3}\,\times 1 \,\times \sqrt{\frac{3}{11}}.

Passo 4

Simplificando o produto de raízes:
\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{3}{11}} = \sqrt{\frac{9}{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}},
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V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{4\pi}{\sqrt{11}}.

Passo 5

Comparando com as alternativas, notamos que
\frac{4\pi\sqrt{3}}{\sqrt{33}} = \frac{4\pi\sqrt{\tfrac{3}{33}}}{1} = \frac{4\pi}{\sqrt{11}},
então a resposta correta é a letra (d).

Resposta

(d)

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