Seja C o cilindro defindo por x^{2}+y^{2}=2^{2}, 1 \leqslant z \leqslant 9. Qual o valor de
\left|\int_{C}(2 x+z) d x \wedge d y+x d y \wedge d z\right| ?
a 0
b 12 \pi
c 32 \pi
(d) 72 \pi
52 \pi

Passo 1

O enunciado pede o valor do integral da 2-forma
\omega=(2x+z)\,dx\wedge dy \;+\; x\,dy\wedge dz
sobre a superfície cilíndrica lateral C definida por
x^2+y^2=2^2,\quad 1\le z\le9.
O conteúdo é integração de formas diferenciais em uma superfície; vamos usar uma parametrização de C e calcular o pullback de \omega.

Passo 2

Parametrizamos C por
\varphi(\theta,z)=(x,y,z)=(2\cos\theta,\,2\sin\theta,\,z), \qquad 0\le\theta\le2\pi,\;1\le z\le9.
Então
dx=-2\sin\theta\,d\theta, \quad dy=2\cos\theta\,d\theta, \quad dz=dz.

Passo 3

Calculamos o pullback de cada termo da forma:
  1. Para dx\wedge dy:
dx\wedge dy =(-2\sin\theta\,d\theta)\wedge(2\cos\theta\,d\theta) =0,
pois é d\theta\wedge d\theta.
2. Para x\,dy\wedge dz:
dy\wedge dz =(2\cos\theta\,d\theta)\wedge dz =2\cos\theta\,d\theta\wedge dz,
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x\,dy\wedge dz =(2\cos\theta)\cdot(2\cos\theta\,d\theta\wedge dz) =4\cos^2\theta\,d\theta\wedge dz.

Passo 4

O integral sobre C reduz-se a
\int_{C}\omega =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{9}4\cos^2\theta\,dz\,d\theta =4\Bigl(\int_{1}^{9}dz\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta\Bigr).
Calculamos
\int_{1}^{9}dz=8, \qquad \int_{0}^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi.
Portanto
\int_{C}\omega =4\cdot8\cdot\pi=32\pi.
Como a questão pede o valor absoluto, temos \bigl|\int_C\omega\bigr|=32\pi.

Resposta

32\pi
(c) 32\pi

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