Sistema de equações lineares Nos Exercícios 31-40, resolva o sistema usando eliminação de Gauss com substituição regressiva ou eliminação de Gauss–Jordan.
-x+y+2 z=1
2 x+3 y+z=-2
5 x+4 y+2 z=4

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema de três equações lineares em três incógnitas x,y,z. Nosso objetivo é aplicar eliminação de Gauss: primeiro triangular a matriz aumentada com operações elementares e depois usar substituição regressiva.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:

Passo 3

A seguir, eliminamos o x da segunda linha somando 2 vezes a primeira linha à segunda, isto é, L2 L2 + 2L1. Isso produz na linha 2:
0 5 5 0
que corresponde à equação 5y + 5z = 0.

Passo 4

Depois, eliminamos o x da terceira linha somando 5 vezes a primeira linha à terceira, ou seja, L3 L3 + 5L1. A terceira linha vira:
0 9 12 9
que representa 9y + 12z = 9.

Passo 5

Agora temos o sub-sistema
5y + 5z = 0, 9y + 12z = 9
Da primeira equação extrai-se y = -z. Substituindo em 9y + 12z = 9
9(-z) + 12z = 9 implies 3z = 9 implies z = 3,
logo y = -3.

Passo 6

Por fim, substituímos y=-3 e z=3 na primeira equação original, -x + y + 2z = 1:
-,x - 3 + 6 = 1 implies -x + 3 = 1 implies x = 2

Resposta

(x,y,z) = (2, -3, 3)\newline

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