Questão 10. Considere
P(-4,5), r: 2 x+3 y=1 e s:l x=t+1 y=3
Determine:
(a) d(P, r) e d(P, s);
(b) d(r, s);
(c) uma equação de reta m que satisfaz d(P, m)=d(m, r)=d(m, s)=0.

Passo 1

Beleza, a questão nos dá um ponto
P(–4, 5),
a reta r:
e a reta s definida por
.
O assunto é geometria analítica, mais especificamente:
– distância de ponto a reta, com a fórmula
– e distância entre retas (se elas se cruzam, a distância é 0).

Passo 2

Vamos achar d(P,r). Primeiro escrevo r como
2x+3y-1=0
Substituo P(-4,5) na fórmula:
|2cdot(-4)+3cdot5-1| = |-8+15-1| = |6| = 6,
e o denominador é raiz2^2+3^2=raiz13.
Logo
d(P,r)=6raiz13

Passo 3

Agora d(P,s). A reta s é horizontal ( y=3), e a distância de P(x0,y0) a y=k é |y0-k|. Aqui y0=5 e k=3, então
d(P,s)=|5-3|=2

Passo 4

Para d(r,s), note que r tem coeficiente angular -tfrac23 e s é horizontal, ou seja, não são paralelas: elas se cruzam. Sempre que duas retas se cruzam,
d(r,s)=0

Passo 5

Queremos uma reta m com
d(P,m)=0, d(m,r)=0, d(m,s)=0
A condição d(P,m)=0 diz que P está em m; e d(m,r)=d(m,s)=0 diz que m intercepta r e s. Um jeito prático é achar o ponto Q onde r e s se cruzam e traçar m passando por P e Q.
Interseção r∩s: em s temos x=t+1,;y=3. Substituo em r:
2(t+1)+3cdot3=1;Longrightarrow;2t+2+9=1;Longrightarrow;2t=-10;Longrightarrow;t=-5
Logo Q=(t+1,3)=(-4,3). A reta que passa por P(–4, 5) e Q(–4, 3) é vertical:
boxedm:;x=-4

Resposta

(a) d(P,r)=6raiz13, d(P,s)=2
(b) d(r,s)=0
(c) Uma equação possível para m é ,x=-4.)

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