Questão 9. Determine a distância entre as retas r e s abaixo:
r: x-2 y=4 e s: y=12-x.

Passo 1

Nesse exercício a gente vai descobrir a distância entre duas retas no plano:
r: x - 2y = 4
s: y = 12 - x
Isso faz parte de geometria analítica, mais especificamente de como medir a “distância” entre retas. Para resolver, precisamos:
  1. Colocar cada reta na forma reduzida y = m x + b e achar o coeficiente angular m.
  2. Saber que só tem distância constante (não zero) se as retas forem paralelas.
  3. Se não forem paralelas, elas se cruzam e a menor distância é zero.

Passo 2

Vamos pôr a reta r em y = m x + b:
x - 2y = 4 ;Longrightarrow; -2y = 4 - x ;Longrightarrow; y = x - 42 = tfrac12x - 2
Aí o coeficiente angular é mr = tfrac12. O coeficiente angular indica a inclinação da reta.

Passo 3

A reta s já vem quase pronta:
y = 12 - x = -x + 12,
logo o coeficiente angular é ms = -1.

Passo 4

Como mr = tfrac12 é diferente de ms = -1, as retas não são paralelas. Em geometria analítica, quando duas retas não são paralelas elas se cruzam em algum ponto. Isso significa que existe um ponto que pertence às duas linhas, e a distância mínima entre elas é a distância desse ponto até ele mesmo, que dá zero.

Resposta

A distância entre as retas r e s é 0.

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