Qual é a pressão necessária para impedir que um bloco de aço (coeficiente de dilatação linear \alpha=1,2 \times 10^{-5} 1 /{ }^{\circ} \mathrm{C} ) sofra uma expansão quando sua temperatura aumenta de 25^{\circ} \mathrm{C} para 40^{\circ} \mathrm{C} ? O módulo de compressão do aço é 2,6 \times 10^{11} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

O enunciado pede a pressão p que devemos aplicar a um bloco de aço para que sua expansão térmica, ao aquecê-lo de 25^\circ\mathrm{C} para 40^\circ\mathrm{C}, seja completamente anulada. O conteúdo que vamos usar é o da dilatação térmica volumétrica e a lei de Hooke para comportamento elástico sob pressão hidrostática, envolvendo o módulo de compressão (bulk modulus) K.

Passo 2

Quando um sólido sofre variação de temperatura \Delta T sem restrição, sua variação volumétrica relativa é
\Delta_{\text{th}} = \beta\,\Delta T
onde \beta é o coeficiente de dilatação volumétrica. Para um material isotrópico,
\beta = 3\,\alpha
sendo \alpha o coeficiente de dilatação linear. Aqui \alpha = 1{,}2\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}, logo
\beta = 3 \times 1{,}2\times10^{-5} = 3{,}6\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Se aplicarmos pressão hidrostática p ao bloco, ele sofre uma deformação volumétrica elástica (compressão)
\Delta_{\text{el}} = -\frac{p}{K},
onde K é o módulo de compressão dado 2{,}6\times10^{11}\,\mathrm{Pa} e o sinal negativo indica redução de volume.

Passo 4

Para impedir toda expansão térmica, basta fazer com que a deformação elástica anule a térmica:
\Delta_{\text{el}} + \Delta_{\text{th}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{p}{K} + \beta\,\Delta T = 0.
Dessa igualdade isolamos p:
p = K\,\beta\,\Delta T.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\Delta T = 40^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C} = 15^\circ\mathrm{C},
p = \bigl(2{,}6\times10^{11}\,\mathrm{Pa}\bigr)\times\bigl(3{,}6\times10^{-5}\bigr)\times 15 = 2{,}6\times10^{11}\times5{,}4\times10^{-4}\,\mathrm{Pa}.
Calculando:
p = 1{,}404\times10^{8}\,\mathrm{Pa}\approx1{,}4\times10^{8}\,\mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão necessária é aproximadamente 1{,}4\times10^{8}\,\mathrm{Pa}.

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