Dê a forma de Jordan de um operador linear T: R^7 R^7 com polinômio característico pT(x)=(x-1)^2(x-2)^4(x-3) e tal que dim(ker(T-2 I)=2, dim(ker(T-I))=1 e ker(T-2 I)^3 neq ker(T-2 I)^2.

Passo 1

O enunciado pede a forma de Jordan de um operador linear T: R^7to R^7 cujo polinômio característico é (x-1)^2(x-2)^4(x-3), sabendo que a multiplicidade geométrica de lambda=1 é dimker(T- I)=1, de lambda=2 é dimker(T-2I)=2 e que Vamos usar teoria de forma de Jordan: a soma das dimensões dos blocos para cada valor próprio é a multiplicidade algébrica, o número de blocos é a multiplicidade geométrica, e tamanhos são ajustados pelas condições de potências do núcleo.

Passo 2

Para lambda=1: a multiplicidade algébrica é 2 e a geométrica é 1. Isso obriga um único bloco de tamanho 2. Logo temos um bloco J2(1).

Passo 3

Para lambda=2: a multiplicidade algébrica é 4 e a geométrica é 2, logo há 2 blocos cujos tamanhos somam 4. As opções seriam (2,2) ou (3,1). A condição ker(T-2I)^3neqker(T-2I)^2 indica que existe um bloco de tamanho ≥3. Logo os tamanhos são 3 e 1, ou seja, blocos J3(2) e J1(2).

Passo 4

Para lambda=3: a multiplicidade algébrica é 1, logo há exatamente um bloco de tamanho 1, isto é J1(3).

Passo 5

Agrupando todos os blocos numa forma de Jordan em base apropriada, temos a decomposição em blocos:

Resposta

A forma de Jordan de T é blocos diagonais:
diagl(J2(1),;J3(2),;J1(2),;J1(3)r)

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