Sejam N1 e N2 matrizes de ordem 6 nilpotentes. Suponha que elas têm o mesmo polinômio minimal e o mesmo posto. Prove que elas são semelhantes. Mostre que o mesmo resultado não é verdadeiro para matrizes de ordem 7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que duas matrizes nilpotentes 6×6 com mesmo polinômio minimal e mesmo posto são necessariamente semelhantes, usando teoria de forma de Jordan, e depois dar um contraexemplo para matrizes 7×7.

Passo 2

Toda matriz nilpotente N admite forma de Jordan com blocos J_k(0). Se chamarmos ell o tamanho do maior bloco, então o polinômio minimal é muN(x)=x^ell. Além disso, como cada bloco J_k(0) tem núcleo de dimensão 1, a nulidade total é o número de blocos b, de modo que posto(N)=6-b.

Passo 3

Devemos ver que, em dimensão 6, o par de invariantes (tamanho do maior bloco ell, número de blocos b) determina unicamente a partição de 6. As partições possíveis e seus pares são: (notação partição → ( ell,b)):
(6)to(6,1)
(5,1)to(5,2)
(4,2)to(4,2)
(4,1,1)to(4,3)
(3,3)to(3,2)
(3,2,1)to(3,3)
(3,1,1,1)to(3,4)
(2,2,2)to(2,3)
(2,2,1,1)to(2,4)
(2,1,1,1,1)to(2,5)
(1,1,1,1,1,1)to(1,6)
Em cada caso o par (ell,b) é distinto.

Passo 4

Logo, se duas matrizes nilpotentes 6×6 têm o mesmo ell (mesmo polinômio minimal) e o mesmo b=6-posto, elas correspondem à mesma partição de 6 e, portanto, têm a mesma forma de Jordan. Daí são semelhantes.

Passo 5

Para 7×7 encontramos duas partições diferentes que geram os mesmos (ell,b):
(3,3,1) tem ell=3 e b=3 (posto 7-3=4),
(3,2,2) também tem ell=3 e b=3 (posto 4).
Como são partições diferentes, as formas de Jordan não coincidem e, apesar de compartilharem polinômio minimal e posto, não há semelhança.

Resposta

Duas matrizes nilpotentes 6×6 com mesmo polinômio minimal e mesmo posto têm necessariamente a mesma forma de Jordan, logo são semelhantes. Para 7×7 isso falha, pois as partições (3,3,1) e (3,2,2) dão o mesmo polinômio minimal x^3 e mesmo posto 4, mas não são semelhantes.

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