Sejam
e
matrizes de ordem 6 nilpotentes. Suponha que elas têm o mesmo polinômio minimal e o mesmo posto. Prove que elas são semelhantes. Mostre que o mesmo resultado não é verdadeiro para matrizes de ordem 7.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que duas matrizes nilpotentes 6×6 com mesmo polinômio minimal e mesmo posto são necessariamente semelhantes, usando teoria de forma de Jordan, e depois dar um contraexemplo para matrizes 7×7.
Passo 2
Toda matriz nilpotente N admite forma de Jordan com blocos J_k(0). Se chamarmos
o tamanho do maior bloco, então o polinômio minimal é
. Além disso, como cada bloco J_k(0) tem núcleo de dimensão 1, a nulidade total é o número de blocos
, de modo que
.
Passo 3
Devemos ver que, em dimensão 6, o par de invariantes (tamanho do maior bloco
, número de blocos
) determina unicamente a partição de 6. As partições possíveis e seus pares são: (notação partição → (
)):
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•
Em cada caso o par é distinto.
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•
•
Em cada caso o par
Passo 4
Logo, se duas matrizes nilpotentes 6×6 têm o mesmo
(mesmo polinômio minimal) e o mesmo
, elas correspondem à mesma partição de 6 e, portanto, têm a mesma forma de Jordan. Daí são semelhantes.
Passo 5
Para 7×7 encontramos duas partições diferentes que geram os mesmos
:
• tem
e
(posto
),
• também tem
e
(posto
).
Como são partições diferentes, as formas de Jordan não coincidem e, apesar de compartilharem polinômio minimal e posto, não há semelhança.
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Como são partições diferentes, as formas de Jordan não coincidem e, apesar de compartilharem polinômio minimal e posto, não há semelhança.
Resposta
Duas matrizes nilpotentes 6×6 com mesmo polinômio minimal e mesmo posto têm necessariamente a mesma forma de Jordan, logo são semelhantes. Para 7×7 isso falha, pois as partições (3,3,1) e (3,2,2) dão o mesmo polinômio minimal
e mesmo posto 4, mas não são semelhantes.