Sejam S e T operadores lineares de R^2 definidos por S(x, y)=(x-2 y, y) e T(x, y)=(2 x, x+2 y). Determinar:
T circ S

Passo 1

O enunciado pede para calcular a composição de operadores lineares em ℝ², ou seja, encontrar (T∘S)(x,y). Vamos usar a definição de composição: primeiro aplicamos S em (x,y) e depois aplicamos T no resultado.

Passo 2

Sabemos que S(x,y) gera o par (u,v) definido por u = x - 2y e v = y. Esse é o passo de aplicar S.

Passo 3

Agora aplicamos T no par (u,v). Por definição, T(u,v) = (2u, u + 2v).

Passo 4

Substituímos u = x - 2y e v = y na expressão de T(u,v):
T(S(x,y)) = (2(x - 2y),;(x - 2y) + 2y)

Passo 5

Por fim, simplificamos cada coordenada:
2(x - 2y) = 2x - 4y,
(x - 2y) + 2y = x

Passo 6

Portanto, chegamos ao operador composto. Concluímos que a aplicação (T∘S) é dada por esses resultados.

Resposta

(Tcirc S)(x,y) = (2x - 4y,;x)

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