Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é
s(x, t)=(6,0 nm) cos (k x-(3000 rad / s) t+phi)
quanto tempo uma molécula de ar no caminho da onda leva para se mover entre os deslocamentos s=+2,0 nm e s =-2,0 nm ?

Passo 1

Então, o problema diz que a onda sonora no ar tem forma
s(x,t) = (6,0 nm)cosl(kx - (3000 rad/s),t + phir)
e pergunta quanto tempo uma molécula de ar, parada num certo ponto , demora pra ir de nm até nm.
Conteúdo: Movimento Harmônico Simples (MHS) e relação entre deslocamento, fase e tempo.
O que vamos precisar:
- Identificar que, para um fixo, .
- Saber que, pra , a fase .
- Calcular a diferença de fase entre os dois deslocamentos e dividir por .

Passo 2

Como a molécula está num s(t)=6,0 nm;cosl(underbrace-3000,t+phi'omega t+phi0r) fixo, podemos simplificar a onda pra
costheta1=2,06,0=13 Longrightarrow theta1=arccos!l(tfrac13r),
ou seja, amplitude costheta2=-2,06,0=-13 Longrightarrow theta2=arccos!l(-tfrac13r), nm e rad/s.
Para nm:
$$\cos\theta_1=\frac{2{,}0}{6{,}0}=\frac13
\quad\Longrightarrow\quad
\theta_1=\arccos!\Bigl(\tfrac13\Bigr),. \cos\theta_2=\frac{-2{,}0}{6{,}0}=-\frac13
\quad\Longrightarrow\quad
\theta_2=\arccos!\Bigl(-\tfrac13\Bigr),. $$

Passo 3

A gente sabe que De. Então
e
.
A diferença de fase é

Passo 4

Agora, em MHS, De.
Calculemos numericamente:
rad, então
rad.
Dividindo por rad/s:
$$\Delta t = \frac{0{,}67967}{3000},\mathrm{s}
\approx2{,}27\times10^{-4},\mathrm{s},. $$

Resposta

A molécula demora aproximadamente
boxedDe
para ir de nm a nm.

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