Uma forma quadrática é dita ser positiva definida se a matriz é positiva definida. A forma quadrática é positiva definida?
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática
e pede para verificar se ela é positiva definida. Isso equivale a checar se a matriz associada é positiva definida, usando, por exemplo, o critério de Sylvester (menores principais positivos).
Passo 2
Identificamos a matriz simétrica a partir dos coeficientes de . O coeficiente de vai na diagonal e o coeficiente de dividido por 2 fica nos elementos fora da diagonal. Assim,
pois o termo -2x1x2 gera A12=A21=-1.
Passo 3
Aplicamos o critério de Sylvester, que diz que A é positiva definida se e somente se todos os menores principais forem positivos.
Primeiro menor principal (elemento A11):
A11=3>0
Segundo menor principal (determinante de A):
det(A)=3cdot3 - (-1)cdot(-1)=9-1=8>0
Passo 4
Como ambos os menores principais são positivos, concluímos que A é positiva definida. Logo, a forma quadrática Q(x1,x2) também é positiva definida.