Uma forma quadrática x^t A x é dita ser positiva definida se a matriz A é positiva definida. A forma quadrática 3 x1^2+3 x2^2-2 x1 x2 é positiva definida?

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática
Q(x1,x2)=3x1^2+3x2^2-2x1x2
e pede para verificar se ela é positiva definida. Isso equivale a checar se a matriz associada A é positiva definida, usando, por exemplo, o critério de Sylvester (menores principais positivos).

Passo 2

Identificamos a matriz simétrica A a partir dos coeficientes de Q. O coeficiente de xi^2 vai na diagonal e o coeficiente de x1x2 dividido por 2 fica nos elementos fora da diagonal. Assim,
A = 3 & -1 -1 & 3 ,
pois o termo -2x1x2 gera A12=A21=-1.

Passo 3

Aplicamos o critério de Sylvester, que diz que A é positiva definida se e somente se todos os menores principais forem positivos.
  1. Primeiro menor principal (elemento A11):
A11=3>0
  1. Segundo menor principal (determinante de A):
det(A)=3cdot3 - (-1)cdot(-1)=9-1=8>0

Passo 4

Como ambos os menores principais são positivos, concluímos que A é positiva definida. Logo, a forma quadrática Q(x1,x2) também é positiva definida.

Resposta

Sim, a forma quadrática é positiva definida.

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