Qual a forma quadrática e o operador de Laplace do sistema massa-mola?
Passo 1
Então, olha só o que o exercício pede: a gente tem um sistema massa‐mola, e o que queremos é achar a forma quadrática que representa a energia potencial (ou seja, o polinômio de grau 2) e identificar o operador de Laplace, que é aquele operador diferencial de segunda ordem. Essa parte é sobre formas quadráticas e operadores diferenciais (no caso, o laplaciano). Vamos precisar saber o que é exatamente uma forma quadrática (é um polinômio de grau 2 que geralmente a gente escreve como
), e o que é o operador de Laplace (que em 1D vira a derivada segunda,
).
Passo 2
A definição de forma quadrática é: é uma função
que envolve apenas termos de segundo grau em
. Matematicamente a gente costuma escrever
onde
é uma matriz simétrica. No nosso caso, o potencial de mola é proporcional a
, então já dá pra ver que a matriz vai ser bem simples.
Passo 3
No sistema massa‐mola com constante elástica
e coordenada de deslocamento
, o potencial elástico é
Comparando com a forma
, a gente nota que
é escalar e
é o
com valor
. Então a matriz da forma quadrática é
.
Passo 4
Agora, sobre o operador de Laplace: em
(ou seja, uma dimensão), ele é definido como a soma das segundas derivadas parciais, mas como só temos uma variável, vira simplesmente
Esse operador aparece em várias áreas, mas aqui a gente identificou que esse é o laplaciano em 1D.
Passo 5
Prontinho! A gente já tem a forma quadrática do potencial do sistema massa‐mola e o operador de Laplace em 1D.
Resposta
Forma quadrática:
(com matriz
). Operador de Laplace em 1D:
.