Qual a forma quadrática e o operador de Laplace do sistema massa-mola?

Passo 1

Então, olha só o que o exercício pede: a gente tem um sistema massa‐mola, e o que queremos é achar a forma quadrática que representa a energia potencial (ou seja, o polinômio de grau 2) e identificar o operador de Laplace, que é aquele operador diferencial de segunda ordem. Essa parte é sobre formas quadráticas e operadores diferenciais (no caso, o laplaciano). Vamos precisar saber o que é exatamente uma forma quadrática (é um polinômio de grau 2 que geralmente a gente escreve como x^T A x), e o que é o operador de Laplace (que em 1D vira a derivada segunda, d^2dx^2).

Passo 2

A definição de forma quadrática é: é uma função Q(x) que envolve apenas termos de segundo grau em x. Matematicamente a gente costuma escrever
Q(x) = 12,x^T A x
onde A é uma matriz simétrica. No nosso caso, o potencial de mola é proporcional a x^2, então já dá pra ver que a matriz vai ser bem simples.

Passo 3

No sistema massa‐mola com constante elástica k e coordenada de deslocamento x, o potencial elástico é
V(x) = 12,k,x^2
Comparando com a forma 12,x^T A x, a gente nota que x é escalar e A é o 1times1 com valor k. Então a matriz da forma quadrática é [k].

Passo 4

Agora, sobre o operador de Laplace: em R (ou seja, uma dimensão), ele é definido como a soma das segundas derivadas parciais, mas como só temos uma variável, vira simplesmente
De<a = d^2dx^2
Esse operador aparece em várias áreas, mas aqui a gente identificou que esse é o laplaciano em 1D.

Passo 5

Prontinho! A gente já tem a forma quadrática do potencial do sistema massa‐mola e o operador de Laplace em 1D.

Resposta

Forma quadrática: Q(x) = tfrac12,k,x^2 (com matriz [k]). Operador de Laplace em 1D: De<a = tfracd^2dx^2.

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