Verifique em cada caso se f é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles.
f: R R dada por f(x)=x+1, sendo R o grupo aditivo dos reais.

Passo 1

O enunciado nos dá a aplicação
fcolon RtoR
definida por
f(x)=x+1,
onde R é visto como grupo abeliano com a operação de soma.
O conteúdo aqui é verificar se f preserva a soma (ou seja, é um homomorfismo de grupos), e em caso afirmativo estudar injetividade, sobrejetividade e núcleo.

Passo 2

Relembrando a definição: uma aplicação entre grupos aditivos
fcolon (R,+)to(R,+)
é homomorfismo se, para todo x,yinR, valer
f(x+y)=f(x)+f(y)

Passo 3

Vamos verificar a propriedade de homomorfismo:
f(x+y)=(x+y)+1=x+y+1,
enquanto
f(x)+f(y)=(x+1)+(y+1)=x+y+2.

Passo 4

Como
f(x+y)=x+y+1neq x+y+2=f(x)+f(y)
para todo x,y, concluímos que f não preserva a soma e, portanto, não é homomorfismo de grupos.

Resposta

f não é homomorfismo. Em consequência, não se define injetividade, sobrejetividade nem núcleo no contexto de homomorfismo.

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