Verifique em cada caso se é um homomorfismo. Em caso afirmativo, determinar se é injetor e sobrejetor e encontrar o núcleo de cada um deles. dada por , sendo o grupo aditivo dos reais.
Passo 1
O enunciado nos dá a aplicação
definida por ,
onde é visto como grupo abeliano com a operação de soma.
O conteúdo aqui é verificar se preserva a soma (ou seja, é um homomorfismo de grupos), e em caso afirmativo estudar injetividade, sobrejetividade e núcleo.
Passo 2
Relembrando a definição: uma aplicação entre grupos aditivos
é homomorfismo se, para todo , valer
Passo 3
Vamos verificar a propriedade de homomorfismo: ,
enquanto .
Passo 4
Como
para todo , concluímos que não preserva a soma e, portanto, não é homomorfismo de grupos.
Resposta
não é homomorfismo. Em consequência, não se define injetividade, sobrejetividade nem núcleo no contexto de homomorfismo.