( 7 pontos) Quando a empresa “Pastéis S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em serviço. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relação (segundo o modelo de regressão linear simples) entre a quantidade de pastéis produzidos (Y) por hora e a quantidade de horas de treinamento (X) à qual os funcionários foram submetidos, a empresa obteve:
X 2 6 8 8 12 16
Y 58 105 88 118 117 137
a) A escrita o modelo de regressão linear simples é dada por \mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon} na forma matricial. Determine cada uma das matrizes para o problema formulado;
b) Sabendo-se que \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\left[\begin{array}{cc}6 & 52 \\\\ 52 & 568\end{array}\right] e \mathbf{X}^{\top} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{Y}=\left[\begin{array}{c}623 \\\\ 5990\end{array}\right] obtenha o vetor \hat{\boldsymbol{\beta}} que é o vetor de parâmetros estimados. (Utilize quatro casas decimais em seus cálculos).

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra com 6 observações das variáveis: número de horas de treinamento X e quantidade de pastéis produzidos por hora Y. As observações são, retiradas da tabela do enunciado:
\begin{array}{c|cccccc} X & 2 & 6 & 8 & 8 & 12 & 16\\hline Y & 58 & 105 & 88 & 118 & 117 & 137 \end{array}
O que é pedido:
  • (a) Escrever o modelo de regressão linear simples na forma matricial \mathbf{Y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon} e determinar cada uma das matrizes envolvidas.
  • (b) Usando os produtos dados \mathbf{X}^\top\mathbf{X}=\begin{pmatrix}6 & 52\\[4pt]52 & 568\end{pmatrix} e \mathbf{X}^\top\mathbf{Y}=\begin{pmatrix}623\\[4pt]5990\end{pmatrix}, calcular o vetor estimado \hat{\boldsymbol{\beta}} (usar quatro casas decimais).]

Passo 2

Definição das matrizes do modelo linear simples e interpretação (sem ainda calcular):
  • A matriz de desenho \mathbf{X} tem uma coluna de uns (intercepto) e uma coluna com os valores de X. Portanto \mathbf{X} é uma matriz 6\times 2.
  • O vetor de parâmetros \boldsymbol{\beta} é
\boldsymbol{\beta}=\begin{pmatrix}\beta_0\\[4pt]\beta_1\end{pmatrix},
onde \beta_0 é o intercepto (valor esperado de Y quando X=0) e \beta_1 é a inclinação (mudança esperada em Y para uma unidade a mais em X).
  • O vetor resposta \mathbf{Y} é um vetor coluna 6\times1 com os valores observados de Y.
  • O vetor de erros \boldsymbol{\varepsilon} contém os resíduos aleatórios associados a cada observação.]

Passo 3

Escrever explicitamente as matrizes pedidas:
  • A matriz de desenho \mathbf{X} (peguei os X da tabela do enunciado) é
\mathbf{X}= \begin{pmatrix} 1 & 2\\[4pt] 1 & 6\\[4pt] 1 & 8\\[4pt] 1 & 8\\[4pt] 1 & 12\\[4pt] 1 & 16 \end{pmatrix}.
  • O vetor resposta \mathbf{Y} (peguei os Y da tabela do enunciado) é
\mathbf{Y}= \begin{pmatrix} 58\\[4pt] 105\\[4pt] 88\\[4pt] 118\\[4pt] 117\\[4pt] 137 \end{pmatrix}.
  • O vetor de parâmetros é
\boldsymbol{\beta}= \begin{pmatrix} \beta_0\\[4pt]\beta_1 \end{pmatrix},
e o vetor de erros é
\boldsymbol{\varepsilon}= \begin{pmatrix} \varepsilon_1\\[4pt]\varepsilon_2\\[4pt]\varepsilon_3\\[4pt]\varepsilon_4\\[4pt]\varepsilon_5\\[4pt]\varepsilon_6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Fórmula para o estimador de mínimos quadrados ordinários (OLS) e como vamos usá-la:
  • O estimador OLS para \boldsymbol{\beta} em modelo linear é dado por
\hat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\mathbf{Y}.
Vou usar os produtos fornecidos \mathbf{X}^\top\mathbf{X} e \mathbf{X}^\top\mathbf{Y} para calcular \hat{\boldsymbol{\beta}}.

Passo 5

Escrever os produtos fornecidos (já dados no enunciado):
\mathbf{X}^\top\mathbf{X}=\begin{pmatrix}6 & 52\\[4pt]52 & 568\end{pmatrix},\qquad \mathbf{X}^\top\mathbf{Y}=\begin{pmatrix}623\\[4pt]5990\end{pmatrix}.
Para encontrar \hat{\boldsymbol{\beta}} vamos calcular (\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1} e multiplicar pelo vetor \mathbf{X}^\top\mathbf{Y}.]

Passo 6

Calcular a inversa da matriz 2\times2 \mathbf{A}=\mathbf{X}^\top\mathbf{X}=\begin{pmatrix}6 & 52\\[4pt]52 & 568\end{pmatrix}.
  • Determinante de \mathbf{A}:
\det(\mathbf{A})=6\cdot 568 - 52\cdot 52.
Calculemos:
6\cdot 568 = 3408,\qquad 52\cdot 52 = 2704,
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\det(\mathbf{A})=3408-2704=704.
  • Inversa da matriz 2\times2 pela fórmula
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}=\frac{1}{704}\begin{pmatrix}568 & -52\\[4pt]-52 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Multiplicar (\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1} por \mathbf{X}^\top\mathbf{Y} para obter \hat{\boldsymbol{\beta}}.
Escrevendo a multiplicação:
\hat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}^\top\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^\top\mathbf{Y} =\frac{1}{704}\begin{pmatrix}568 & -52\\[4pt]-52 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix}623\\[4pt]5990\end{pmatrix}.
Calculemos passo a passo os produtos internos (faço as multiplicações com detalhe para você poder reproduzir na prova):
Componente superior:
568\cdot 623 - 52\cdot 5990.
Calcule:
568\cdot 623 = 353864,\qquad 52\cdot 5990 = 311480,
então
568\cdot 623 - 52\cdot 5990 = 353864 - 311480 = 42384.
Dividindo por 704:
\frac{42384}{704}=60{,}204545\ldots
Arredondando para quatro casas decimais: 60{,}2045.
Componente inferior:
-52\cdot 623 + 6\cdot 5990.
Calcule:
52\cdot 623 = 32396,\qquad 6\cdot 5990 = 35940,
então
-52\cdot 623 + 6\cdot 5990 = -32396 + 35940 = 3544.
Dividindo por 704:
\frac{3544}{704}=5{,}0340909\ldots
Arredondando para quatro casas decimais: 5{,}0341.]

Passo 8

Interpretação rápida do resultado (um toque motivador): o estimador ficou com intercepto \hat{\beta}_0\approx 60{,}2045 e inclinação \hat{\beta}_1\approx 5{,}0341. Ou seja, segundo o ajuste linear, cada hora adicional de treinamento aumenta, em média, cerca de 5{,}0341 pastéis por hora, com nível base (quando X=0) estimado em 60{,}2045. Mas atenção: interpretação completa exige checar suposições do modelo (resíduos, linearidade, etc.), o que não foi pedido aqui — foco na conta para a prova!

Resposta

\hat{\boldsymbol{\beta}}= \begin{pmatrix} 60{,}2045\\[4pt] 5{,}0341 \end{pmatrix}]

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