( 7 pontos) Quando a empresa “Pastéis S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em serviço. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relação (segundo o modelo de regressão linear simples) entre a quantidade de pastéis produzidos (Y) por hora e a quantidade de horas de treinamento (X) à qual os funcionários foram submetidos, a empresa obteve:
X
2
6
8
8
12
16
Y
58
105
88
118
117
137
a) A escrita o modelo de regressão linear simples é dada por \mathbf{Y}=\mathbf{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon} na forma matricial. Determine cada uma das matrizes para o problema formulado;
b) Sabendo-se que \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}=\left[\begin{array}{cc}6 & 52 \\\\ 52 & 568\end{array}\right] e \mathbf{X}^{\top} \mathbf{Y}=\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{Y}=\left[\begin{array}{c}623 \\\\ 5990\end{array}\right] obtenha o vetor \hat{\boldsymbol{\beta}} que é o vetor de parâmetros estimados. (Utilize quatro casas decimais em seus cálculos).
Passo 1
O enunciado fornece uma amostra com 6 observações das variáveis: número de horas de treinamento X e quantidade de pastéis produzidos por hora Y. As observações são, retiradas da tabela do enunciado:
(a) Escrever o modelo de regressão linear simples na forma matricial \mathbf{Y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\varepsilon} e determinar cada uma das matrizes envolvidas.
(b) Usando os produtos dados \mathbf{X}^\top\mathbf{X}=\begin{pmatrix}6 & 52\\[4pt]52 & 568\end{pmatrix} e \mathbf{X}^\top\mathbf{Y}=\begin{pmatrix}623\\[4pt]5990\end{pmatrix}, calcular o vetor estimado \hat{\boldsymbol{\beta}} (usar quatro casas decimais).]
Passo 2
Definição das matrizes do modelo linear simples e interpretação (sem ainda calcular):
A matriz de desenho \mathbf{X} tem uma coluna de uns (intercepto) e uma coluna com os valores de X. Portanto \mathbf{X} é uma matriz 6\times 2.
Arredondando para quatro casas decimais: 5{,}0341.]
Passo 8
Interpretação rápida do resultado (um toque motivador): o estimador ficou com intercepto \hat{\beta}_0\approx 60{,}2045 e inclinação \hat{\beta}_1\approx 5{,}0341. Ou seja, segundo o ajuste linear, cada hora adicional de treinamento aumenta, em média, cerca de 5{,}0341 pastéis por hora, com nível base (quando X=0) estimado em 60{,}2045. Mas atenção: interpretação completa exige checar suposições do modelo (resíduos, linearidade, etc.), o que não foi pedido aqui — foco na conta para a prova!