O módulo do complexo z=(2+i)^{6}(-1-i)^{4} é
Escolha uma opção:
◯ a. \quad 250
◯ b. 1000
◯ c. 2500
◯ d. 500
◯ e. 100

Passo 1

O enunciado pede o módulo do número complexo z=(2+i)^{6}(-1-i)^{4}.
As informações dadas são apenas a expressão de z e as alternativas:
(a) 250
(b) 1000
(c) 2500
(d) 500
(e) 100

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • O módulo de um complexo a+bi é |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a é a parte real e b a parte imaginária.
  • O módulo do produto é o produto dos módulos:
|zw|=|z|\cdot|w|.
Isto significa que, para potências e produtos, podemos tratar módulos separadamente.
  • O módulo de uma potência é a potência do módulo:
|z^{n}|=|z|^{n},
onde n é inteiro positivo.

Passo 3

Calcular o módulo de 2+i:
|2+i|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Explicação: aqui a=2 e b=1, então aplicou-se a fórmula |a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 4

Calcular o módulo de -1-i:
|-1-i|=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Observação: sinais negativos não importam porque são ao quadrado.

Passo 5

Aplicando as propriedades de módulo a z:
|z|=|2+i|^{6}\cdot|-1-i|^{4}=(\sqrt{5})^{6}(\sqrt{2})^{4}.
Agora calcular cada potência:
(\sqrt{5})^{6}=(\sqrt{5}^{2})^{3}=5^{3}=125,
(\sqrt{2})^{4}=(\sqrt{2}^{2})^{2}=2^{2}=4.
Multiplicando:
|z|=125\cdot4=500.

Resposta

(d) 500

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