1. Na formação de \mathrm{O}_{2} e \mathrm{H}_{2}, a partir do vapor de água, a fração x de \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} que se dissocia pode ser calculada pela equação:
K=\frac{x}{1-x} \cdot \sqrt{\frac{2 P}{2+x}}
onde K é a constante de equilíbrio da reação e P é a pressão total da mistura. Supondo P=3,5, atm e K=0,04, encontre o valor x na equação dada, com E_{a} \leq 10^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre a fração dissociada \,x e a constante de equilíbrio \,K para a reação:
K=\frac{x}{1-x}\cdot\sqrt{\frac{2P}{2+x}}.
Os dados numéricos são:
  • P=3,5 (atm),
  • K=0,04.
O que se pede: encontrar o valor de x que satisfaz a equação acima, com erro absoluto E_a \leq 10^{-2}.
Informações relevantes extraídas:
  • A variável x é uma fração de dissociação, então seu domínio físico é 0\le x<1.
  • A equação é transcendental em x por causa da raiz quadrada \sqrt{2P/(2+x)}; portanto vai ser preciso um método numérico para obter x.

Passo 2

Vou transformar a equação em uma função cuja raiz procuramos, e explicar o método escolhido (bissecção), que é simples, robusto e suficiente para garantir o erro pedido.
Defino a função
g(x)=\frac{x}{1-x}\cdot\sqrt{\frac{2P}{2+x}}-K,
onde, para os valores numéricos, \,2P=7 pois P=3,5. Assim
g(x)=\frac{x}{1-x}\cdot\sqrt{\frac{7}{2+x}}-0,04.
Queremos achar x\in[0,1) tal que g(x)=0.
Motivo da escolha do método: a bissecção exige só que encontremos um intervalo [a,b] com sinais opostos de g. É um método elementar (útil em provas sem calculadora avançada) e fornece controle direto do erro: se o comprimento do intervalo final for L, então o erro do ponto médio é no máximo L/2. Para atingir E_a\le 10^{-2} basta reduzir o intervalo de busca até ter L/2\le 10^{-2}, ou seja L\le 0,02.

Passo 3

Encontrar um intervalo inicial com mudança de sinal.
Calculo g(0):
g(0)=\frac{0}{1-0}\cdot\sqrt{\frac{7}{2+0}}-0,04=0-0,04=-0,04<0.
Escolho b=0,05 e calculo g(0,05):
  • Primeiro \dfrac{x}{1-x}=\dfrac{0,05}{1-0,05}=\dfrac{0,05}{0,95}=0,0526316\ldots.
  • Depois \dfrac{7}{2+x}=\dfrac{7}{2,05}=3,414634146\ldots, então \sqrt{\dfrac{7}{2+x}}\approx1,8484.
  • Logo
g(0,05)\approx 0,0526316\times1,8484-0,04\approx0,09734-0,04=0,05734>0.
Portanto g(0)=-0,04<0 e g(0,05)>0: há pelo menos uma raiz em [0,\,0,05]. Agora aplico bissecção nesse intervalo até que o comprimento seja \le 0,02.

Passo 4

Aplicando bissecção em [0,0,05]:
  1. Ponto médio m_1=0,025.
  • \dfrac{m_1}{1-m_1}=\dfrac{0,025}{0,975}=0,0256410\ldots.
  • \dfrac{7}{2+m_1}=\dfrac{7}{2,025}=3,456790123\ldots, \sqrt{\cdot}\approx1,8596.
  • Produto: 0,0256410\times1,8596\approx0,04768.
  • g(0,025)\approx0,04768-0,04=0,00768>0.
Sinal positivo em m_1. Como g(0)<0, a raiz está em [0,\,0,025].
  1. Ponto médio m_2=0,0125 do intervalo [0,0,025].
  • \dfrac{m_2}{1-m_2}=\dfrac{0,0125}{0,9875}=0,0126582\ldots.
  • \dfrac{7}{2+m_2}=\dfrac{7}{2,0125}=3,478109\ldots, \sqrt{\cdot}\approx1,865.
  • Produto: 0,0126582\times1,865\approx0,02361.
  • g(0,0125)\approx0,02361-0,04=-0,01639<0.
Sinal negativo em m_2. Então a raiz está no intervalo [0,0125,\,0,025]. O comprimento desse intervalo é 0,025-0,0125=0,0125.
  1. Ponto médio m_3=0,01875 do intervalo [0,0125,\,0,025].
  • \dfrac{m_3}{1-m_3}=\dfrac{0,01875}{0,98125}\approx0,0191096.
  • \dfrac{7}{2+m_3}=\dfrac{7}{2,01875}\approx3,46743, \sqrt{\cdot}\approx1,86298.
  • Produto: 0,0191096\times1,86298\approx0,03563.
  • g(0,01875)\approx0,03563-0,04=-0,00437<0.
Sinal negativo em m_3. Assim a raiz está em [0,01875,\,0,025]. O comprimento desse intervalo é 0,025-0,01875=0,00625.
Agora o comprimento L=0,00625 satisfaz L/2=0,003125\le 0,01. Portanto o ponto médio desse intervalo dá uma aproximação com erro máximo \le 0,003125, que já está dentro da exigência E_a\le 10^{-2}.
O ponto médio final é
x_{\text{biss}}=\frac{0,01875+0,025}{2}=0,021875.
Então, com bissecção, uma aproximação válida é x\approx0,021875 (erro garantido \le 0,003125).

Passo 5

(refinamento — opcional, para ver como obter uma aproximação melhor rapidamente)
Posso refinar com um passo de Newton a partir de uma boa aproximação inicial (por exemplo x_0=0,02 ou x_0=0,021875). Vou mostrar o passo usando x_0=0,02 (já calculamos g(0,02) antes):
Recordando:
g(x)=\frac{x}{1-x}\sqrt{\frac{7}{2+x}}-0,04.
Derivada (produto/quotiente): se h(x)=\dfrac{x}{1-x} então h'(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2}. Se s(x)=\sqrt{\dfrac{7}{2+x}} então s'(x)=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}(2+x)^{-3/2}. Logo
g'(x)=h'(x)s(x)+h(x)s'(x) =\frac{1}{(1-x)^2}\,s(x)+\frac{x}{1-x}\,s'(x).
Numéricamente em x_0=0,02 obtemos (aproximações):
  • h(0,02)=0,02040816.
  • h'(0,02)=1/(0,98)^2\approx1,04125.
  • s(0,02)=\sqrt{7/2,02}\approx1,8610.
  • s'(0,02)\approx-0,4607 (cálculo direto aplicando a fórmula acima).
Portanto
g(0,02)\approx -0,002001\quad(\text{já calculado}), \qquad g'(0,02)\approx 1,9276.á
Aplicando Newton:
x_1=x_0-\frac{g(x_0)}{g'(x_0)}\approx 0,02-\frac{-0,002001}{1,9276}\approx0,021038.
Verificando no lado esquerdo da equação original com x\approx0,02104 obtém-se praticamente 0,04 (diferença muito pequena), então
uma boa aproximação refinada é
x\approx 0,02104.
Como pedido no enunciado, a aproximação com erro absoluto menor que 10^{-2} já foi garantida pela bissecção; a iteração de Newton deu uma resposta mais precisa.

Resposta

x \approx 0,02104

Exercícios relacionados