- Na formação de
e
, a partir do vapor de água, a fração
de
que se dissocia pode ser calculada pela equação:
onde
é a constante de equilíbrio da reação e
é a pressão total da mistura. Supondo
, atm e
, encontre o valor
na equação dada, com
.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre a fração dissociada
e a constante de equilíbrio
para a reação:
Os dados numéricos são:
-
(atm), -
.
O que se pede: encontrar o valor de
que satisfaz a equação acima, com erro absoluto
.
Informações relevantes extraídas:
- A variável
é uma fração de dissociação, então seu domínio físico é . - A equação é transcendental em
por causa da raiz quadrada ; portanto vai ser preciso um método numérico para obter .
Passo 2
Vou transformar a equação em uma função cuja raiz procuramos, e explicar o método escolhido (bissecção), que é simples, robusto e suficiente para garantir o erro pedido.
Defino a função
onde, para os valores numéricos,
pois
. Assim
Queremos achar
tal que
.
Motivo da escolha do método: a bissecção exige só que encontremos um intervalo
com sinais opostos de
. É um método elementar (útil em provas sem calculadora avançada) e fornece controle direto do erro: se o comprimento do intervalo final for
, então o erro do ponto médio é no máximo
. Para atingir
basta reduzir o intervalo de busca até ter
, ou seja
.
Passo 3
Encontrar um intervalo inicial com mudança de sinal.
Calculo
:
Escolho
e calculo
:
- Primeiro
. - Depois
, então . - Logo
Portanto
e
: há pelo menos uma raiz em
. Agora aplico bissecção nesse intervalo até que o comprimento seja
.
Passo 4
Aplicando bissecção em
:
- Ponto médio
.
-
. -
, . - Produto:
. -
.
Sinal positivo em
. Como
, a raiz está em
.
- Ponto médio
do intervalo .
-
. -
, . - Produto:
. -
.
Sinal negativo em
. Então a raiz está no intervalo
. O comprimento desse intervalo é
.
- Ponto médio
do intervalo .
-
. -
, . - Produto:
. -
.
Sinal negativo em
. Assim a raiz está em
. O comprimento desse intervalo é
.
Agora o comprimento
satisfaz
. Portanto o ponto médio desse intervalo dá uma aproximação com erro máximo
, que já está dentro da exigência
.
O ponto médio final é
Então, com bissecção, uma aproximação válida é
(erro garantido
).
Passo 5
(refinamento — opcional, para ver como obter uma aproximação melhor rapidamente)
Posso refinar com um passo de Newton a partir de uma boa aproximação inicial (por exemplo ou
). Vou mostrar o passo usando
(já calculamos
antes):
Posso refinar com um passo de Newton a partir de uma boa aproximação inicial (por exemplo
Recordando:
Derivada (produto/quotiente): se
então
. Se
então
. Logo
Numéricamente em
obtemos (aproximações):
-
. -
. -
. -
(cálculo direto aplicando a fórmula acima).
Portanto
Aplicando Newton:
Verificando no lado esquerdo da equação original com
obtém-se praticamente
(diferença muito pequena), então
uma boa aproximação refinada é
uma boa aproximação refinada é
Como pedido no enunciado, a aproximação com erro absoluto menor que
já foi garantida pela bissecção; a iteração de Newton deu uma resposta mais precisa.