1. Na formação de um produto químico, utilizou-se um tanque esférico com 1 m de raio. A altura h da solução dentro do tanque pode ser calculada pela equação:
V=\frac{\pi h^{3}(3 r-h)}{3}
Qual é a altura h, quando no tanque há 0,75, \mathrm{~m}^{3} de solução?

Passo 1

O enunciado dá um tanque esférico de raio r=1\\ \mathrm{m} e a fórmula do volume da solução em função da altura h:
V=\frac{\pi h^{3}(3r-h)}{3}.
Foi informado que o volume é V=0,75\\ \mathrm{m}^{3}. A pergunta é: qual é a altura h correspondente a esse volume?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • r=1\\ \mathrm{m}.
  • V=0,75\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Fórmula: \displaystyle V=\frac{\pi h^{3}(3r-h)}{3}.
    O objetivo: encontrar h no intervalo físico 0\le h\le 2r=2.

Passo 2

Substituo r=1 na fórmula e simplifico:
V=\frac{\pi h^{3}(3- h)}{3}.
Agora substituo V=0,75:
\frac{\pi}{3}\,h^{3}(3-h)=0,75.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{3}{\pi} para isolar o polinômio:
h^{3}(3-h)=\frac{2{,}25}{\pi}.
Defino o valor numérico do lado direito (usando \pi\approx 3{,}14159265):
\frac{2{,}25}{\pi}\approx 0{,}7161972439.
Portanto a equação a resolver é
h^{3}(3-h)=0{,}7161972439.

Passo 3

Reescrevo a equação numa forma conveniente para análise:
g(h)=h^{3}(3-h)-0{,}7161972439=0.
Observações:
  • g(h) é contínua e definida para h\in[0,2].
  • É uma equação polinomial (grau 4 quando expandida), que não tem solução simplesmente “fechada” fácil de obter manualmente; portanto é natural usar um método numérico (bisseção ou Newton) para encontrar h.
    Vou usar o método de Newton-Raphson porque converge rápido e podemos obter boa precisão com poucas iterações.

Passo 4

Apresento o método de Newton-Raphson e derivadas necessárias (aqui ensino passo a passo).
  • Ideia do método: a cada iteração aproximamos a função por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo h como nova aproximação.
  • Fórmula da iteração:
h_{n+1}=h_n-\frac{g(h_n)}{g'(h_n)}.
  • Vamos calcular g'(h). Como g(h)=3h^3-h^4 - 0{,}7161972439, tem-se
g'(h)=9h^{2}-4h^{3}=h^{2}(9-4h).
Explico: derivei termo a termo (derivada de 3h^3 é 9h^2; derivada de h^4 é 4h^3). Pronto, temos g e g'.

Passo 5

Escolha de chute inicial: observo que
g(0{,}5)=0{,}5^{3}(3-0{,}5)=0{,}125\times2{,}5=0{,}3125<0{,}7162,
g(1)=1^{3}(3-1)=2>0{,}7162.
Portanto a raiz está entre 0{,}5 e 1. Escolho h_{0}=0{,}675 como chute inicial (está entre 0{,}65 e 0{,}7, que já dá valores próximos). Agora calculo g(h_0) e g'(h_0) com contas explícitas:
Calculo de h_0^{3}:
0{,}675^{3}=\frac{675^{3}}{10^{9}}=\frac{307\,546\,875}{10^{9}}=0{,}307546875.
Calculo de 3-h_0:
3-0{,}675=2{,}325.
Produto:
h_0^{3}(3-h_0)=0{,}307546875\times2{,}325=0{,}715046484375.
Portanto
g(0{,}675)=0{,}715046484375-0{,}7161972439=-0{,}001150759525.
Agora g'(0{,}675):
h_0^{2}=0{,}675^{2}=0{,}455625,
9-4h_0=9-2{,}7=6{,}3,
g'(0{,}675)=0{,}455625\times6{,}3=2{,}8704375.

Passo 6

Aplicando uma iteração de Newton:
h_{1}=h_{0}-\frac{g(h_{0})}{g'(h_{0})} =0{,}675-\frac{-0{,}001150759525}{2{,}8704375} =0{,}675+0{,}000400900\approx 0{,}675400900.
Então a nova aproximação é h_{1}\approx0{,}6754009.

Passo 7

Faço uma verificação rápida avaliando g em h_{1} por inspeção (ou por interpolação entre os valores já computados). Já sabemos que
g(0{,}676)\approx 0{,}717920263424-0{,}7161972439=+0{,}0017230195
e g(0{,}675)=-0{,}001150759525. A aproximação por interpolação linear entre 0{,}675 e 0{,}676 dá raiz próxima a
0{,}675+\frac{0{,}001150759525}{0{,}001150759525+0{,}0017230195}\times0{,}001\approx0{,}6754005,
que coincide com o resultado da iteração de Newton (diferença na ordem de 4\times10^{-7}). Isso indica que h_{1} já está com precisão de pelo menos quatro casas decimais. Para nosso objetivo (altura do tanque) essa precisão é mais que suficiente.

Passo 8

Convergi para a solução numérica:
h\approx0{,}6754\\ \mathrm{m}.
Posso checar substituindo de volta na fórmula original (apenas para conferir): com h\approx0{,}6754 a expressão \dfrac{\pi}{3}h^{3}(3-h) dá, dentro do arredondamento, aproximadamente 0{,}75\\ \mathrm{m}^{3}.

Resposta

\,h\approx0{,}6754\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados