- Na formação de um produto químico, utilizou-se um tanque esférico com 1 m de raio. A altura
da solução dentro do tanque pode ser calculada pela equação:
Qual é a altura
, quando no tanque há
de solução?
Passo 1
O enunciado dá um tanque esférico de raio
e a fórmula do volume da solução em função da altura
:
Foi informado que o volume é
. A pergunta é: qual é a altura
correspondente a esse volume?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. -
. - Fórmula:
.
O objetivo: encontrarno intervalo físico .
Passo 2
Substituo
na fórmula e simplifico:
Agora substituo
:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar o polinômio:
Defino o valor numérico do lado direito (usando
):
Portanto a equação a resolver é
Passo 3
Reescrevo a equação numa forma conveniente para análise:
Observações:
-
é contínua e definida para . - É uma equação polinomial (grau 4 quando expandida), que não tem solução simplesmente “fechada” fácil de obter manualmente; portanto é natural usar um método numérico (bisseção ou Newton) para encontrar
.
Vou usar o método de Newton-Raphson porque converge rápido e podemos obter boa precisão com poucas iterações.
Passo 4
Apresento o método de Newton-Raphson e derivadas necessárias (aqui ensino passo a passo).
- Ideia do método: a cada iteração aproximamos a função por sua reta tangente e usamos a interseção dessa reta com o eixo
como nova aproximação. - Fórmula da iteração:
- Vamos calcular
. Como , tem-se
Explico: derivei termo a termo (derivada de
é
; derivada de
é
). Pronto, temos
e
.
Passo 5
Escolha de chute inicial: observo que
Portanto a raiz está entre
e
. Escolho
como chute inicial (está entre 0{,}65 e 0{,}7, que já dá valores próximos). Agora calculo
e
com contas explícitas:
Calculo de
:
Calculo de
:
Produto:
Portanto
Agora
:
Passo 6
Aplicando uma iteração de Newton:
Então a nova aproximação é
.
Passo 7
Faço uma verificação rápida avaliando
em
por inspeção (ou por interpolação entre os valores já computados). Já sabemos que
e
. A aproximação por interpolação linear entre
e
dá raiz próxima a
que coincide com o resultado da iteração de Newton (diferença na ordem de
). Isso indica que
já está com precisão de pelo menos quatro casas decimais. Para nosso objetivo (altura do tanque) essa precisão é mais que suficiente.
Passo 8
Convergi para a solução numérica:
Posso checar substituindo de volta na fórmula original (apenas para conferir): com
a expressão
dá, dentro do arredondamento, aproximadamente
.